Question

如图（1）所示，一边长为L，质量为m，电阻为R的金属丝方框竖直放置在磁场中，磁场方向垂直方框平面，磁感应强度的大小随y的变化规律为B=B+ky，k为恒定常数，同一水平面上磁感应强度相同．现将方框以初速度v从O点水平抛出，重力加速度为g，不计阻力．

（1）通过计算确定方框最终运动的状态；
（2）若方框下落过程中产生的电动势E与下落高度y的关系如图（2）所示，求方框下落H高度时产生的内能．

Answer

（1）对导线框进行受力分析，根据导线框的受力情况判断导线框在水平方向的运动情况；
由E=BLv求出导体棒切割磁感线产生的感应电动势，由牛顿第二定律求出导线框的加速度，
根据加速度的表达式判断导线框最终的运动性质，求出最终的速度，然后由平行四边形定则求出导线框的速度．
（2）由能量守恒定律求出导线框产生的焦耳热．
【解析】
（1）线框中各条边的电流相等，根据对称性可知线框在水平方向所受合力为0，
导线框在水平方向做匀速运动；
设线框运动ts，下落h高度，竖直方向速度为vy，
切割产生的电动势E=B下Lvy-B上Lvy ①，
磁感应强度：B=B+ky    ②，
导线框中的电流I=    ③，
由牛顿第二定律得：mg-（B下LI-B上LI）=ma  ④，
由①②③④解得，a=g-，
随导线框在竖直方向受到的增加，加速度a减小，
当a=0时，导线框将做匀速直线运动，速度vym=；
因此导线框在竖直方向先做变加速运动，最终做匀速直线运动，
匀速运动的速度vym=；
最终方框匀速运动，速度大小为v==，
设速度方向与x洲间的夹角是θ，tanθ=，方向与x轴成arctan；
（2）由图象可得线框下落H高度时做匀速运动，
由能量守恒定律得：Q=mgH+mv2-mv2
Q=mgH-；
答：（1）方框最终做运动直线运动．
（2）方框下落H高度时产生的内能是mgH-．