Question

如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L=1m，导轨平面与水平面夹角α=30°，导轨电阻不计．磁感应强度为B₁=2T的匀强磁场垂直导轨平面向上，长为L=1m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m₁=2kg、电阻为R₁=1Ω．两金属导轨的上端连接右侧电路，电路中通过导线接一对水平放置的平行金属板，两板间的距离和板长均为d=0.5m，定值电阻为R₂=3Ω，现闭合开关S并将金属棒由静止释放，重力加速度为g=10m/s²，导轨电阻忽略不计．试求：
（1）金属棒下滑的最大速度为多大？
（2）当金属棒下滑达到稳定状态时，在水平放置的平行金属板间电场强度是多大？
（3）当金属棒下滑达到稳定状态时，在水平放置的平行金属板间加一垂直于纸面向里的匀强磁场B₂=3T，在下板的右端且非常靠近下板的位置有一质量为m₂，带电量为q=-1×10^-4C的质点以初速度v水平向左射入两板间，要使带电质点在复合场中恰好做匀速圆周运动并能从金属板间射出，初速度v应满足什么条件？

Answer

（1）ab向下加速运动，切割磁感线产生感应电流，产生阻力，加速度减小，当ab受力平衡时速度达最大，由共点力的平衡条件可得出最大速度；
（2）导体棒中产生电动势，ab与电阻组成闭合回路，由闭合电路的欧姆定律可得金属板间的电压，则可求得内部电场强度；
（3）要使粒子做匀速圆周运动，重力与电场力平衡；由平衡关系可求得粒子的质量；要使粒子飞出，由临界条件可知粒子的半径范围，则可由洛仑兹力充当向心力能求得初速度．
【解析】
（1）当金属棒ab匀速下滑时有m1gsinα=B1IL…①
…②
E=B1Lv   …③
  R总=R1+R2…④
联立①～④式的⑤
得vm=10m/s
（2）由分压原理得…⑥
将已知条件代入得UC=15V
故 =30V/m  方向由上极板指向下极板              
（3）要满足题意使带电粒子做匀速圆周运动 则
由上式可求得  m2=3×10-4㎏…⑦
 根据
故…⑧
由题意分析可知，粒子的圆心在磁场的边界上，若能转回到边界处一定从右边飞出，而若半径增大，打在极板上则不会飞出；
但若半径增大到粒子从上板的左侧飞出时，也可飞出，
故要使带电粒子能从金属极板右边射出，必满足…⑨
若从左边飞出，则r≥d…⑩
联立⑦⑧⑨式得v≤0.25m/s（从右边射出）                
联立⑦⑧⑩式得v≥0.5m/s（从左边射出）  
 答：（1）最大速度为10m/s；（2）板间的场强为30V/m； （3）若从右端射出，速度≤0.25m/s，若从左端射出，速度≥0.5m/s．