Question

如图所示，半径为2R的圆弧光滑轨道AB和半径为R的圆弧粗糙轨道BC相切于B点，两轨道置于竖直平面内，O、O′分别为两圆孤的圆心，O、O′、B三点在一条竖直线上，在C点的上方紧靠C点处有一厚度不计的水平旋转平台，平台转动角速度为，沿平台的一条直径上开有两个小孔P、Q，两孔离轴心距离相等，旋转时两孔均能到达C点正上方，一质量为m的小球自A点由静止开始下滑，滑过C点后恰能无碰撞的穿过小孔P，后又恰好无碰撞的穿过小孔Q后落入轨道中，不计空气阻力．求：
（1）小球第一次滑过B点前、后瞬时对轨道的压力大小；
（2）小球第一次滑过C点时的速度大小；
（3）小球第一次经过BC段的过程中克服摩擦力所做的功．

Answer

（1）根据动能定理求得小球从A点处滑至B点时速度，运用牛顿第二定律求解压力大小，要注意滑过B点前、后瞬时圆周半径发生改变．
（2）由平台转动的周期性，求出小球在空中的运动时间，再根据竖直上抛的对称性求出滑过C点时的速度大小．
（3）对于变力做功，我们首选动能定理．
【解析】
（1）小球从A点处滑至B点时速度为vB，由动能定理得：
mg•2R=mvB2，
小球从A点处滑至B点前瞬时，对轨道的压力为N1，由牛顿第二定律得：
N1-mg=m
小球从A点处滑至B点后瞬时，对轨道的压力为N2，由牛顿第二定律得：
N2-mg=m
解得：N1=3mg，N2=5mg
（2）小球从C点处滑出后，先做匀减速上升，后自由落体，根据题意得小球在空中的运动时间
t=  （n=0，1，2，3…）
小球第一次向上滑过C点时的速度vC=，
vC=，（n=0，1，2，3…）
（3）小球从A至C的过程中，小球克服摩擦力做功为W，由动能定理得：
mgR-W═mvC2
解得：W=mgR-，（n=0，1，2，3…）
答：（1）小球第一次滑过B点前、后瞬时对轨道的压力大小分别是3mg，5mg；
（2）小球第一次滑过C点时的速度大小是 ，（n=0，1，2，3…）；
（3）小球第一次经过BC段的过程中克服摩擦力所做的功是mgR-，（n=0，1，2，3…）．