Question

如图1所示，竖直放置的截面积为S、匝数为N、电阻为R的线圈两端分别与两根相距为L 的倾斜光滑平行金属导轨相连．导轨足够长，其轨道平面与水平面成a角，线圈所在空间存在着方向平行于线圈轴线竖直向下的均匀磁场B₁，磁感应强度B_l随时间t的变化关系如图2所示，导轨所在空间存在垂直于轨道平面的匀强磁场B₂．设在t=0到t=0.2s的时间内，垂直两根导轨放置的质量为m的金属杆静止在导轨上，t=0.2s后，由于B₁保持不变，金属杆由静止开始沿导轨下滑，经过足够长的时间后，金属杆的速度会达到一个最大速度v_m．已知：S=0.00l m²，N=l00匝，R=0.05Ω，a=300，L=0.1m，B₂=0.2T，g取l0m/s²．（除线圈电阻外，其余电阻均不计，且不考虑由于线圈中电流变化而产生的自感电动势对电路的影响）．
（1）求金属杆的质量m并判断磁场B₂的方向；
（2）求金属杆在导轨上运动的最大速度vm；
（3）若金属杆达到最大速度时恰好进入轨道的粗糙部分，轨道对杆的滑动摩擦力等于杆所受重力的一半，求棒运动到最大速度后继续沿轨道滑动的最大距离Xm及此过程中回路中产生的焦耳热Q．

Answer

（1）在t=0到t=0.2s的时间内，根据图象和法拉弟电磁感应定律、欧姆定律求出线圈中感应电流，由金属杆平衡求出m，并确定B2的方向．
（2）在t=0.2s后，B1保持不变，金属杆沿导轨下滑，先做加速度减小的变加速运动，最后做匀速运动，速度达到最大，根据平衡平衡条件和安培力公式求出最大速度，
（3）用积分法，根据牛顿第二定律求出位移，再根据能量守恒求出焦耳热．
【解析】
（1）在t=0到t=0.2s的时间内，金属杆静止在导轨上
            线圈产生的感应电动势   E=N=N
            闭合电路中的电流       I=
            金属杆所受到的安培力   F=B2IL
           对金属杆，由平衡条件得 mgsinα=F
       由上述程式解得       m=4×10-3kg
       磁场B2的方向垂直导轨向下．
（2）在t=0.2s后，由于B1保持不变，金属杆由静止沿斜面下滑，
根据题意，当金属杆达到最大速度时，杆中电流和（1）问中电流相等．
     =mgsinα
           得到vm=2.5m/s
（3）金属运动到最大速度后轨道变得粗糙后，金属杆开始减速下滑
   对金属杆，由牛顿第二定律，得=-m
∑（△t）=∑（m△v）
        得到vm
            解得xm=1.25m
    由能量转化和守恒定律得+mgxmsinα=+Q
            解之得Q=0.0125J