Question

如图所示，在倾角为θ的足够长的斜面上，有一质量为M的长木板．开始时，长木板上有一质量为m的小铁块（视为质点）以相对地面的初速度v从长木板的中点沿长木板向下滑动，同时长木板在沿斜面向上的拉力作用下始终做速度为v的匀速运动（已知v＞v），小铁块最终跟长木板一起向上做匀速运动．已知小铁块与木板、木板与斜面间的动摩擦因数均为μ（μ＞tanθ），试求：
（1）小铁块在长木板上滑动时的加速度大小和方向？
（2）长木板至少要有多长？
（3）小铁块从中点开始运动到最终匀速运动的过程中拉力做了多少功？

Answer

（1）小铁块在长木板上滑动时受到重力、木板的支持力和摩擦力作用，根据牛顿第二定律求解加速度．
（2）小铁块先沿斜面向下匀减速至速度为零再沿斜面向上匀加速，最终跟长木板一起向上做匀速运动．由于铁块变速运动过程的加速度一定，看成一种匀减速运动，取沿斜面向上方向为正方向，此过程的初速度为-v，末速度为v，由速度公式可求出时间．由位移公式分别此段时间内小铁块的位移s1和木板的位移s2，由几何关系得，长木板的长度应满足：s1+s2，即可求解长木板的最小的长度L．
（3）长木板始终沿斜面向上做匀速运动，由平衡条件求出拉力F，再求解其做功．
【解析】
（1）小铁块在长木板上滑动时受到重力、木板的支持力和沿板向上的滑动摩擦力作用，设小铁块的加速度大小为a，对小铁块受力分析有（取沿斜面向上为正）：
  μmgcosθ-mgsinθ=ma                           
得 a=g（μcosθ-sinθ）                                   
因为μ＞tanθ，所以小铁块与木板有相对滑动时的加速度沿斜面向上．
（2）小铁块先沿斜面向下匀减速至速度为零再沿斜面向上匀加速，最终获得稳定速度v，设t后小铁块达到稳定速度，则
  v-（-v）=at
得 t=                      
设此段时间内小铁块的位移为s1，木板的位移为s2，有：
     方向沿斜面向下（式中v＞v）          
s2=vt 方向沿斜面向上                   
∵s1+s2                              
∴L≥2（s1+s2）=          
（3）对木板M受力分析知拉力为恒力：F=μ（m+M）gcosθ+μmgcosθ+Mgsinθ  
则由W=Fs2=Fvt得：
W=（v+v）v=
答：
（1）小铁块在长木板上滑动时的加速度大小是g（μcosθ-sinθ），方向沿斜面向上．
（2）长木板至少长．
（3）小铁块从中点开始运动到最终匀速运动的过程中拉力做功为．