Question

如图所示，在固定的粗糙斜面上依次放有两块质量相等m₁=m₂=10kg的平板A、B，长度均为 L=1.6m，斜面倾角很小为θ（sinθ=0.1，cosθ≈1），一个质量为m₃=20kg 的小滑块C以v=5m/s的初速度滑上平板A的上表面．A与斜面之间的动摩擦因素为μ₁=0.2，B与斜面之间的动摩擦因素μ₂=0.1，滑块C与平板A、B之间的动摩擦因数相同，设为μ₃．设最大静摩擦力与相对应的滑动摩擦力大小相等，g=10m/s．
（1）若小滑块C滑上平板A时，平板均不动，而滑上平板B时，平板B开始滑动，求μ₃应满足的条件；
（2）若μ₃=0.4，求滑块C从开始滑上平板A到最终相对斜面静止时运动的时间和平板B沿斜面上滑的最大距离．

Answer

（1）对长木板A和B分别受力分析，根据共点力平衡条件列方程．联立方程组求解即可；
（2）小滑块C滑上A时，做匀减速运动，根据牛顿第二定律求加速度，然后根据运动学公式求末速度和运动时间；小滑块冲上B后，继续减速，B加速，先根据牛顿第二定律求解加速度，然后根据运动学公式求解出运动的时间和速度；BC一起减速前进过程，根据牛顿第二定律求加速度后，根据运动学公式继续求解，得到运动时间和位移大小；到达最高点后，受力分析，得出BC保持静止，最后得到总时间和平板B沿斜面上滑的最大距离．
【解析】
（1）要使小滑块滑上平板A时，平板不动，则：
μ3m3gcosθ≤μ1（m1+m3）gcosθ+μ2m2gcosθ+（m1+m2）gsinθ
要使小滑块滑上平板B时，平板B开始滑动，则：
μ3m3gcosθ≥μ2（m2+m3）gcosθ+m2gsinθ
解得：0.2≤μ≤0.45
即μ3应满足的条件为0.2≤μ≤0.45．
（2）设C在A上滑动时，C的加速度为ac，经t1时间滑出A时的速度为v1，则
m3gsinθ+μ3m3gcosθ=m3ac
解得
ac=5m/s2
根据速度位移公式，有
v2-v12=2acL
解得
v1=3m/s
根据速度时间公式，有
v-v1=act1
解得

C滑到B上以后，B开始滑动，加速度为aB，假设经t2时间后B、C达到共同速度v2时C还没有从B上滑出
对B：μ3m3gcosθ-μ2（m2+m3）cosθ-m2gsinθ=m2aB
解得
aB=4m/s2
根据速度位移公式，有
v2=aBt2
对C：v2=v1-act2
解得：

C相对于B滑动的距离
△x=0.5m＜L假设成立
之后C和B一起沿斜面减速，加速度为a，经t3速度变为零
对BC整体：（m1+m3）gsinθ+μ2（m1+m3）gcosθ=（m1+m3）a
解得
a=2m/s2
根据速度位移公式，有

故
由于（m1+m3）gsinθ=μ2（m1+m3）gcosθ，故BC最终静止在斜面上；
故C从开始滑上平板A最终相对斜面静止时运动的时间：t=t1+t2+t3t=1.4s，平板B沿斜面上滑的最大距离：xB=0.67m．