Question

如图，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为y轴正方向，磁场方向垂直于xy平面（纸面）向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的一样．一带正电荷的粒子从P（x=0，y=h）点以一定的速度平行于x轴正方向入射．这时若只有磁场，粒子将做半径为R的圆周运动：若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动．现在，只加电场，当粒子从P点运动到x=R平面（图中虚线所示）时，立即撤除电场同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与x轴交于M点，不计重力．已知h=6cm，R=10cm，求：
（1）粒子到达x=R平面时速度方向与x轴的夹角以及粒子到x轴的距离；
（2）M点的横坐标x_M．

Answer

（1）做直线运动时电场力等于洛伦兹力，做圆周运动洛伦兹力提供向心力，只有电场时，粒子做类平抛运动，联立方程组即可求解；
（2）撤电场加上磁场后做圆周运动洛伦兹力提供向心力，求得R，再根据几何关系即可求解．
【解析】
（1）做直线运动有：qE=qBv   ①
做圆周运动有：qBv=m  ②
只有电场时，粒子做类平抛运动，有：
     qE=ma     ③
     R=vt     ④
     vy=at     ⑤
从③④⑤解得⑥，从①得E=Bv⑦，从②式得⑧，将⑦、⑧代入⑥得：
vy=v粒子速度大小为：v==v
速度方向与x轴夹角为：θ=
粒子与x轴的距离为：H=h+at2=h+
代入数据得H=11cm．
（2）撤电场加上磁场后，有：qBv=m
解得：R=R，代入数据得R=14cm．
粒子运动轨迹如图所示，圆心C位于与速度v方向垂直的直线上，该直线与x轴和y轴的夹角均为，
由几何关系得C点坐标为：xc=2R，代入数据得xC=20cm
yc=H-R=h-，代入数据得yC=1cm
过C作x轴的垂线，在△CDM中：=R=R
=yc=h-
解得：==
M点横坐标为：xM=2R+
代入数据得xM=34cm
答：（1）粒子到达x=R平面时速度方向与x轴的夹角为，粒子到x轴的距离为11cm；
    （2）M点的横坐标xM为34cm．