Question

如图所示，质量为m可看作质点的小球从静止开始沿斜面由A点滑到B点后，进入与斜面圆滑连接的竖直圆弧管道BC，管道出口为C．圆弧半径R=15cm，AB的竖直高度差h=35cm．在紧靠出口C处，有一水平放置且绕其水平轴线匀速旋转的圆筒（不计筒皮厚度），筒上开有小孔D，筒旋转时，小孔D恰好能经过出口C处．若小球射出C口时，恰好能接着穿过D孔，并且还能再从D孔向上穿出圆筒，小球返回后又先后两次向下穿过D孔而未发生碰撞．不计摩擦和空气阻力，取g=10m/s²，问：
（1）小球到达C点的速度v_c为多少？
（2）圆筒转动的周期T为多少？
（3）在圆筒以最大周期T转动的情况下，要完成上述运动圆筒的半径R’必须为多少？

Answer

（1）根据动能定理求出小球到达C点的速度．
（2）小球向上穿出圆筒所用时间是转动周期的奇数倍，小球从离开圆筒到第二次进入圆筒所用时间是圆筒周期的整数倍，根据竖直上抛运动的时间求出周期．
（3）根据周期的表达式求出最大周期，从而求出在圆筒内竖直上升的位移，即半径的2倍，根据该关系求出圆筒的半径．
【解析】
（1）对小球从A→C由动能定理得：
mgh-mgR=…①
代入数值解出 v=2m/s
（2）小球向上穿出圆筒所用时间为t1
t1= （k=1，2，3…）…②
小球从离开圆筒到第二次进入圆筒所用时间为2t2．
2t2=nT  （n=1，2，3…）…③
对小球由C竖直上抛的上升阶段，由速度公式得：
0=v-g（t1+t2）…④
联立解得 T=   （k=1，2，3…，n=1，2，3…）…⑤
（3）当n=k=1时，T大=0.2  s
对小球在圆筒内上升的阶段，由位移公式得：
2R′=vt1-…⑥
代入数值解得：R′=0.075 m．
答：（1）小球到达C点的速度vc为2m/s．
（2）圆筒转动的周期T为T=   （k=1，2，3…，n=1，2，3…） 
（3）运动圆筒的半径R’必须为0.075m．