Question

如图为某种新型设备内部电、磁场分布情况图．自上而下分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域．区域Ⅰ宽度为d₁，分布沿纸面向下的匀强电场E₁；区域Ⅱ宽度为d₂，分布垂直纸面向里的匀强磁场B₁；宽度可调的区域Ⅲ中分布沿纸面向下的匀强电场E₂和垂直纸面向里的匀强磁场B₂．现在有一群质量和带电量均不同的带电粒子从区域Ⅰ上边缘的注入孔A点被注入，从静止开始运动，然后相继进入Ⅱ、Ⅲ两个区域，满足一定条件的粒子将回到区域Ⅰ，其他粒子则从区域Ⅲ飞出．三区域都足够长，粒子的重力不计．求：能飞回区域Ⅰ的粒子第一次回到区域Ⅰ上边缘时离A的距离？

Answer

粒子在电场E1中做匀加速直线运动，根据动能定理粒子刚进入磁场B1时的速度大小．粒子进入磁场B1中，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律求出粒子轨迹半径，由几何知识得出粒子离开区域Ⅱ时的速度方向．粒子进入Ⅲ区域时，受到电场力和洛伦兹力，采用运动的分解法，将粒子的速度分解为水平和竖直两个方向，分别求出这两个方向速度对的洛伦兹力，分析粒子水平方向的运动情况：匀速直线运动．分析与竖直速度对应的洛伦兹力，分析得知粒子做匀速圆周运动，根据匀速直线运动和匀速圆周运动的合成，由几何知识求出能飞回区域Ⅰ的粒子第一次回到区域Ⅰ上边缘时离A的距离．
【解析】
粒子在电场E1中运动：
由qE1d1=mv2得
 v=2×104m/s，方向竖直向下．
粒子在磁场B1中偏转，由qB1V=m与得，θ=45°，即粒子离开区域Ⅱ时的速度方向与X轴正向成45°角．
粒子在E2与B2叠加场中：将速度V分解为Vx、Vy，则Vx=Vy=Vsin45°=×104m/s
qB2Vx=qB2Vy=1.28×10-17N，qE2=1.28×10-17N得qE2=qB2Vx
可见粒子在叠加场Ⅲ中的运动为沿X轴正向的速度为Vx的匀速直线运动；
和速率为Vy及对应洛仑兹力qB2Vy为向心力的匀速圆周运动的叠加（如图） 
所以R2==10cm，
最后由运动对称性可知：带电粒子回到区域Ⅰ上边缘的B点距A的距离d
由几何关系得d=2[（1-cosθ）R1+R2+Vx
代数得d=40+10π-10=57.26cm
答：能飞回区域Ⅰ的粒子第一次回到区域Ⅰ上边缘时离A的距离为57.26cm．