Question

如图所示，一块质量为M=2kg，长为L的均质板静止在很长的光滑水平桌面上，板的左端静止摆放质量为m=1kg的小物体（可视为质点），M和m之间的为动摩擦因数为μ=0.2．在小物体m上的O点连接一根很长的轻质细绳，细绳跨过位于桌边的定滑轮．t=0s时刻某人以恒定拉力F=3.3N向下拉绳，t₁=2s时刻细绳突然从O处断开，最后小物体m刚好能到长木板M的最右端（定滑轮光滑，长木板右端和定滑轮之间的距离足够长，g取10m/s²）．求：
（1）细绳没断开时，M和m的加速度各是多少？
（2）当 m到达长木板M右端以后M的速度是多少？
（3）长木板M的长度L是多少？

Answer

（1）细绳没断开时，m所受的合力等于拉力与滑动摩擦力的合力，M所受的合力等于m对它的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律求解加速度．
（2）由速度公式求出细绳从O处断开时两物体的速度．细绳断开后，两物体组成的系统合外力为零，动量守恒，则动量守恒定律求解m到达长木板M右端以后M的速度．
（3）长木板M的长度L等于m相对于M运动的位移大小，分别根据运动学公式和能量守恒定律求出细绳断开前后相对位移，再求板长．
【解析】

（1）细绳没断开时，两物体受力如图．根据牛顿第二定律得
   对m：F-μmg=ma1，得到a1=1.3m/s2．
   对M：f=Ma2，得到a2==1m/s2．

（2）t1=2s时刻细绳突然从O处断开时，两物体的速度分别为
对m：v1=a1t=2.6m/s，
对M：v2=a2t=2m/s．
细绳断开后，两物体组成的系统动量守恒，设m到达长木板M右端以后M的速度为V．则有
   mv1+Mv2=（M+m）V
得到V==2.2m/s．
（3）在细绳断开前，两物体相对位移大小为x1=
在细绳断开后，两物体相对位移大小为x2．根据能量守恒定律得
μmgx2=+-
所以长木板M的长度L=x1+x2
代入解得L=0.66m．
答：（1）细绳没断开时，M和m的加速度分别是1.3m/s2和1m/s2．
    （2）当m到达长木板M右端以后M的速度是2.2m/s．
    （3）长木板M的长度L是0.66m．