Question

如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距L，放在水平绝缘桌面上，半径为R的l/4圆弧部分处在竖直平面内，水平直导轨部分处在磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐．两金属棒ab、cd垂直于两导轨且与导轨接触良好．棒ab质量为2m，电阻为r，棒cd的质量为m，电阻为r．重力加速度为g．开始时棒cd静止在水平直导轨上，棒ab从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒cd始终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上．棒ab与棒cd落地点到桌面边缘的水平距离之比为1：3．  求：
（1）棒ab滑到圆弧底部进入磁场之前的速度大小
（2）棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小；
（3）棒cd在水平导轨上的最大加速度；
（4）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热．

Answer

（1）根据ab棒从圆弧导轨滑下机械能定恒求解进入磁场之前的速度大小
（2）ab棒与cd棒在水平导轨上运动，根据动量定恒和两棒离开导轨做平抛运动的时间相等求解．
（3）ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大，根据牛顿第二定律求解．
（4）根据能量定恒求解两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热．
【解析】
（1）设ab棒进入水平导轨的速度为v1，ab棒从圆弧导轨滑下机械能定恒：
2mgR=×2mv12       
解得：v1=． ①
（2）离开导轨时，设ab棒的速度为，cd棒的速度为，ab棒与cd棒在水平导轨上运动，
根据动量定恒得：
2mv1=2m+m     ②
依题意＞，两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，
由平抛运动水平位移x=vt可知
：=x1：x2=1：3     ③
联立①②③解得=，= 
（3）ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，此时它的加速度最大，设此时回路的感应电动势为E，
E=BLv      ④
I=         ⑤
cd棒受到的安培力为：Fcd=BIL    ⑥
根据牛顿第二定律，cd棒有最大加速度为
a=           ⑦
联立④⑤⑥⑦解得：
a=    
（4）根据能量定恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为：
Q=×2mv12-（×2mv′12+×mv′22）      ⑧
联立①⑧并代入v′1和v′2解得：
Q=mgR
答：（1）棒ab滑到圆弧底部进入磁场之前的速度大小是，
（2）棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小分别是，，
（3）棒cd在水平导轨上的最大加速度是；
（4）两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热是mgR．