Question

如图所示，质量为M的长滑块静止在光滑水平面上，左侧固定一劲度系数k足够大的水平轻质弹簧，右侧用一不可伸长的细轻绳连接于竖直墙上，细绳所能承受的最大拉力为T．使一质量为m、初速度为v的小物块，在滑块上无摩擦地向左滑动，而后压缩弹簧．（弹簧弹性势能的表达式Ep=kx²，其中k为劲度系数，x为弹簧的压缩量）
（1）给出细绳被拉断的条件．
（2）滑块在细绳拉断后被加速的过程中，所能获得的最大向左加速度为多少．
（3）试证明：物体最后离开滑块时，相对地面不向右运动的条件是v＞，且m＞M．

Answer

（1）细绳恰好被拉断时，细绳的拉力恰好等于T，根据胡克定律求出弹簧的压缩量．在弹簧被压缩的过程中，物块的动能转化为弹簧的弹性势能，由机械能守恒求解细绳被拉断时物块的速度条件．
（2）滑块在细绳拉断后被加速的过程中，物块做减速运动，长滑块做加速运动，当两者速度相同时，弹簧压缩时x最大，M获得的加速度最大，根据系统动量守恒和机械能守恒求出弹簧最大压缩量，再由牛顿第二定律求解M最大的加速度．
（3）物体最后离开滑块时，相对地面不向右运动，即相对地面的速度为零，根据系统动量守恒和机械能守恒列式，求出v的条件．
【解析】
（1）设细绳刚被拉断时弹簧的压缩量为x，此时有 kx=T
为使弹簧压缩达到x，对小物块要求是
由此得到，细绳被拉断的条件是：
（2）绳断时，小物体速度为v1，则有=+  
又kx=T
解得  
而后M在弹力作用下由静止开始加速，直至与m达到共同速度v2，此时弹簧压缩时x最大，则由动量守恒和机械能守恒得
    mv1=（M+mv2
=+
此时M的加速度最大为 a=
联立解得a= 
（3）木板与小滑块通过弹簧作用完毕时，相对地面恰好不向右运动时，小滑块相对地面的速度应为0，设此时木板的速度为V1，并设小滑块压缩弹簧前的速度为v′，绳断瞬间小滑块的速度为v1，则有     mv=MV1
=
由上解得小滑块最后离开木板时，相对地面速度为零的条件
v′=，且m＞M
所以物体最后离开滑块时，相对地面不向右运动的条件是v＞，且m＞M．
答：（1）细绳被拉断的条件件是．
（2）滑块在细绳拉断后被加速的过程中，所能获得的最大向左加速度为得a=．
（3）证明见上．