Question

如图所示，质量均为m的两物体A、B分别与轻质弹簧的两端相连接，将它们静止放在地面上．一质量也为m的小物体C从距A物体h高处由静止开始下落．C与A相碰后立即粘在一起向下运动，以后不再分开．当A与C运动到最高点时，物体B对地面刚好无压力．不计空气阻力．弹簧始终处于弹性限度内．已知重力加速度为g．求
（1）A与C一起开始向下运动时的速度大小．
（2）A与C一起运动的最大加速度大小．
（3）弹簧的劲度系数．（提示：弹簧的弹性势能只由弹簧劲度系数和形变量大小决定）

Answer

（1）根据动能定理求出物体C与物体A相碰前的速度，再根据动量守恒定律求出A、C一起向下运动的速度大小．
（2）A与C一起将在竖直方向上做简谐运动．当A与C运动到最高点时，回复力最大，加速度最大，对B分析，求出此时弹簧的弹力大小，再对AC分析，运用牛顿第二定律求出最大加速度大小．
（3）开始A处于平衡状态时弹簧的压缩量与AC上升到最高点时弹簧的伸长量相等，则弹性势能相等，抓住两个位置系统机械能守恒，求出弹簧的形变量，从而根据胡克定律求出劲度系数．
【解析】
（1）设小物体C从静止开始运动到A点时的速度为v，由机械能守恒定律有：
     mgh=
设C与A碰撞粘在一起的速度为v′，由动量守恒定律得，
mv=（m+m）v′，
解得．
答：A与C一起开始向下运动时的速度大小为．
（2）A与C一起将在竖直方向上做简谐运动．当A与C运动到最高点时，回复力最大，加速度最大、
AC、B受力如图．
B受力平衡有：F=mg
对AC运用牛顿第二定律：F+2mg=2ma
解得a=1.5g．
答：A与C一起运动的最大加速度大小为1.5g．
（3）设弹簧的劲度系数为k
开始时A处于平衡状态，设弹簧的压缩形变量为△x
对A有k△x=mg①
当A与C运动到最高时，设弹簧的拉伸形变量为△x″
对B有k△x″=mg②
由以上两式得△x=△x″
因此，在这两个位置时弹簧的弹性势能相等：
对A、C，从原平衡位置到最高点，根据机械能守恒定律
③
联立各式解得：
答：弹簧的劲度系数为．