Question

如图是建筑工地上常用的一种“深穴打夯机”示意图，电动机带动两个滚轮匀速转动将夯杆从深坑提上来，当夯杆底端刚到达坑口时，两个滚轮彼此分开，夯杆在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底．然后两个滚轮再次压紧，夯杆被提上来，如此周而复始．已知两个滚轮边缘的线速度恒为v=4m/s，滚轮对夯杆的正压力F_N=2×10⁴N，滚轮与夯杆间的动摩擦因数为0.3，夯杆质量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的过程中坑的深度变化不大，取g=10m/s²．求：
（1）在每个打夯周期中，电动机对夯杆所做的功；
（2）每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量；
（3）打夯周期．

Answer

（1）夯杆底端刚到达坑口的运动过程中，先做匀加速直线运动，当速度达到滚轮的线速度时，做匀速直线运动，夯杆先受到滑动摩擦力，然后受静摩擦力，电动机对夯杆所做的功等于摩擦力做的功．
（2）求出在每个周期内滚轮与夯杆间的相对位移，从而根据Q=fs相对求出因摩擦产生的热量．
（3）夯杆的运动过程包括：匀加速上升、匀速上升、匀减速上升再落回到坑底．求出整个过程的时间，即为打夯周期．
【解析】
（1）夯杆所受的滑动摩擦力F1=2μFN
根据牛顿第二定律得，F1-mg=ma
夯杆匀加速运动的位移
夯杆匀速运动的位移s2=h-s1
匀速运动的过程中，夯杆受静摩擦力，F2=mg
所以电动机对夯杆所做的功W=F1s1+F2（h-s1）=7.2×104J．
故电动机对夯杆所做的功为7.2×104J．
（2）夯杆与滚轮之间的相对位移为   t=
解得
所以Q=2μFN△s=4.8×104J．
故每个打夯周期中滚轮与夯杆间因摩擦产生的热量为4.8×104J．
（3）夯杆的运动过程包括：匀加速上升、匀速上升、匀减速上升再落回到坑底．
匀加速运动的时间
匀速运动的时间
匀减速上升再落回坑底过程有：规定向上为正方向，-6.4=
解得t3=1.6s
所以周期T=t1+t2+t3=4.2s
故打夯周期为4.2s．