Question

如图所示，间距为d的带电平行金属板P和Q之间构成加速电子的电场，Q板右侧区域I和区域II内存在匀强磁场．区域I左边界与金属板平行，区域Ⅱ的左边界与区域I的右边界重合．已知区域I内的磁场垂直于Oxy平面向外，区域II内的磁场垂直于Oxy平面向里，且磁感应强度大小均为B，区域I和区域II沿x轴方向的宽度均为．以区域I的左边界为y轴，以电子进入区域I时的入射点为坐标原点建立xOy平面直角坐标系．一电子从P板逸出，经过P、Q间电场加速后沿着x轴正向以速度v先后通过区域I和区域II，设电子电荷量为e，质量为m，不计电子重力．
（1）求P、Q间电场强度的大小E；
（2）求电子从区域Ⅱ右边界射出时，射出点的纵坐标y；
（3）撤除区域I中的磁场而在其中加上沿x轴正向的匀强电场，使得该电子刚好不能从区域Ⅱ的右边界飞出．求电子的区域II中运动的速度v和在区域I中运动的平均速度．

Answer

（1）电子在经过P、Q间电场加速时，电场力做功eEd．已知初速度为零，末速度为v，即可知动能的变化量，根据动能定理求出P、Q间电场强度的大小E．
（2）画出电子进入磁场的运动轨迹．电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可得到半径，根据几何知识求出电子在磁场Ⅰ沿y轴偏转的距离y，由题意，磁场Ⅱ与磁场Ⅰ磁感应强度大小相同，方向相反，则知电子在两磁场区域偏转距离相同，即可求出射出点的纵坐标y；
（3）沿x轴正向的匀强电场后，电子刚好不能从区域Ⅱ的右边界飞出时，电子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的轨迹恰好与区域Ⅱ的右边界相切，画出电子的运动轨迹，由几何知识得到电子运动的半径，根据半径公式r=，即可求出速度v．
电子通过区域Ⅰ时做匀加速直线运动，已知初速度v，末速度v，由运动学公式可求得在区域I中运动的平均速度．
【解析】
（1）电子在P、Q间运动过程，由动能定理得
  eEd=
得E=
（2）如图所示，画出电子在磁场中运动的轨迹．电子进入区域Ⅰ做匀速圆周运动，向上偏转，洛伦兹力提供向心力，则有
   evB=m
设电子在区域Ⅰ中沿y轴方向偏转的距离为y．
由题意，区域Ⅰ的宽度为b=，则由几何知识得
  （R-y）2+b2=R2
解得，y=
因两磁场的感应强度大小相等、方向相反，则电子在两个磁场中偏转距离相同，所以电子从区域Ⅱ右边界射出时，射出点的纵坐标y=2y=2．
（3）电子刚好不能从区域Ⅱ的右边界飞出时，说明电子在磁场Ⅱ中做匀速圆周运动的轨迹恰好与区域Ⅱ的右边界相切，画出电子的运动轨迹如图所示．
由几何知识得到电子运动的半径r=b=．
根据半径公式r=，即有
  =．
解得，v=
电子通过区域Ⅰ时做匀加速直线运动，则在此过程中运动的平均速度==．
答：（1）P、Q间电场强度的大小E是；
（2）电子从区域Ⅱ右边界射出时，射出点的纵坐标y是2；
（3）电子的区域II中运动的速度v为，在区域I中运动的平均速度是．