Question

如图所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的圆周轨道，半径OA处于水平位置，BDO是直径为15m的半圆轨道．一个小球P（可看成质点）从A点的正上方距水平半径OA高H=10m处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过AB段．（取g=10m/s²．）
（1）试讨论小球P能否到达BDO轨道的O点，并说明理由．若能，求出小球通过O点时对轨道的压力．
（2）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少？

Answer

（1）由牛顿第二定律求出小球到达O点的最小速度．假设小球能到达O点，此过程中只有重力对小球做功，其机械能守恒，求出小球到O点的速度．比较两个速度，确定小球能否到达O点．若小球能到达O点，由牛顿运动定律求出小球通过O点时对轨道的压力．
（2）小球通过O点后作平抛运动，运用运动的分解法研究水平位移与竖直位移与时间的关系，再由数学知识求出两个位移的关系，求出时间，再求解小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小．
【解析】
（1）设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为vc，
有：mg=m
得：=8.66m/s．
从H高处落下，由可求出通过O点的速度为：
因为v＞vc，所以小球能过O点   
设小球过O点轨道对小球的作用力为F，由牛顿第二定律得：
   F+mg=m
解得：F=30N
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的作用力F'=F=30N，方向竖直向上．
（2）小球通过O点后作平抛运动，设小球经时间t落到AB圆弧轨道上，
水平方向上有：x=vt
竖直方向有：
由数学关系可得：x2+y2=R2
可解得时间t=1s  （另解舍弃）
落到轨道上速度的大小：
答：
（1）小球P能到达BDO轨道的O点，小球通过O点时对轨道的压力为30N，方向竖直向上．
（2）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是17.32m/s．