Question

假定月球绕地球作圆周运动，地球绕太阳也作圆周运动，且轨道都在同一平面内．己知地球表面处的重力加速度g=9.80m/s²，地球半径 R=6.37×10⁶m，月球质量m=7.3×10²²kg，月球半径 R_m=1.7×10⁶m，引力恒量G=6.67×10^-11N•m²/kg²，月心地心间的距离约为r_0m=3.84×10⁸m
（ i ）月球的球心绕地球的球心运动一周需多少天？
（ ii ）地球上的观察者相继两次看到满月需多少天？
（ iii ）若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，试估算火箭到达月球表面时的速度至少为多少（结果要求两位数字）？

Answer

（1）月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动，设地球的质量为me，月球绕地心作圆周运动的角速度为ωm，由万有引力定律和牛顿定律结合黄金代换式即可求解；
（2）满月是当月球、地球、和太阳成一直线时才有的，此时地球在月球和太阳之间，即图中A的位置．当第二个满月时，由于地球绕太阳的运动，地球位置已运动到A′．若以Tm′表示相继两次满月经历的时间，ωe表示地球绕太阳运动的角速度，由于ωe和ωm的方向相同，根据角速度和周期的关系列式即可求解；
（3）从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球的引力作用．当火箭离地球较近时，地球的引力大于月球的引力；当离月球较近时，月球的引力大于地球的引力．作地心和月心的连线，设在地月间某一点处，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力的大小．以r表示到月球中心的距离，根据万有引力定律及机械能守恒定律即可解题．
【解析】
（1）月球在地球引力作用下绕地心作圆周运动，设地球的质量为me，月球绕地心作圆周运动的角速度为ωm，由万有引力定律和牛顿定律有
   ①
另有：
         ②
月球绕地球一周的时间
         ③
由①②③三式解得：
s=2.37×106s=27.4天
（2）满月是当月球、地球、和太阳成一直线时才有的，此时地球在月球和太阳之间，即图中A的位置．当第二个满月时，由于地球绕太阳的运动，地球位置已运动到A′．若以Tm′表示相继两次满月经历的时间，ωe表示地球绕太阳运动的角速度，由于ωe和ωm的方向相同，故有

ωmTm′=2π+ωeTm′
而

式中Te为地球绕太阳运动的周期，Te=365天．由以上三式得
Tm′=天
（3）从地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球的引力作用．当火箭离地球较近时，地球的引力大于月球的引力；当离月球较近时，月球的引力大于地球的引力．作地心和月心的连线，设在地月间某一点处，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力的大小．以r表示到月球中心的距离，则有
式中m为火箭的质量，由上式得

解得：r=3.8×107m
从地球表面发射直接射向月球的火箭只要能到达O点，则过O点后，因月球引力大于地球引力，它便能在月球引力作用下到达月球，这样发射时火箭离开地面时的速度最小，它到达月球时的速度也最小．设火箭刚达到月球时的最小速度为v，则由机械能守恒定律有
=

解得：=2.3×103m/s
答：（ 1 ）月球的球心绕地球的球心运动一周需27.4天；
（ 2）地球上的观察者相继两次看到满月需29.6天；
（ 3）若忽略月球绕地球的运动，设想从地球表面发射一枚火箭直接射向月球，火箭到达月球表面时的速度至少为2.3×103m/s．