Question

如图所示，质量为M的汽车通过质量不计的绳索拖着质量为m的车厢（可作为质点）在水平地面上由静止开始做直线运动．已知汽车和车厢与水平地面间的动摩擦因数均为μ，汽车和车厢之间的绳索与水平地面间的夹角为θ，汽车的额定功率为P，重力加速度为g，不计空气阻力．为使汽车能尽快地加速到最大速度又能使汽车和车厢始终保持相对静止，问：
（1）汽车所能达到的最大速度为多少？
（2）汽车能达到的最大加速度为多少？
（3）汽车以最大加速度行驶的时间为多少？

Answer

（1）对汽车和车厢整体分析，当牵引力等于阻力时，速度最大．求出阻力，根据P=Fv=fv，求出最大速度．
（2）对车厢隔离分析，当车厢所受的支持力为0，此时加速度最大．根据车厢在竖直方向上合力等于0，水平方向上产生合力求出最大加速度．
（3）根据牛顿第二定律求出加速度最大时的牵引力，根据P=Fv，求出匀加速直线运动的最大速度，根据v=at求出匀加速直线运动的时间．
【解析】
（1）当汽车达到最大速度时汽车的功率为P且牵引力与汽车和车厢所受摩擦力大小相等，即F=f
由于在整个运动过程中汽车和车厢保持相对静止，所以汽车和车厢所受的摩擦力为
f=μ（M+m）g
又  P=Fv
由上述三式可知汽车的最大速度为：．
答：汽车所能达到的最大速度为．
（2）要保持汽车和车厢相对静止，就应使车厢在整个运动过程中不脱离地面．
考虑临界情况为车厢刚好未脱离地面，此时车厢受到的力为车厢重力和绳索对车厢的拉力T，
设此时车厢的最大加速度为a，则有：
水平方向  Tcosθ=ma
竖直方向 Tsinθ=mg              
由上两式得：a=gcotθ
答：汽车能达到的最大加速度为gcotθ．
（3）因为此时汽车作匀加速运动，所以
F-f=（M+m）a
f=μ（m+M）g  
即  F=（μ+cotθ）（M+m）g
因汽车达到匀加速最大速度时汽车的功率达到额定功率，根据P=Fvm．
由题意知，汽车一开始就做加速度最大的匀加速运动，匀加速的最大速度为 vm=at
所以以最大加速度匀加速的时间为：t=．
答：汽车以最大加速度行驶的时间为．