Question

如图所示，A为位于一定高度处的质量为m=1×10^-5kg、带电荷量为q=+1×10^-6C的微粒，B为位于水平地面上的质量为M的用特殊材料制成的长方形空心盒子，盒子与地面间的动摩擦因数μ=0.2，盒内存在着竖直向上的匀强电场，场强大小E=1×10³N/C，盒外存在着竖直向下的匀强电场，场强大小也为E，盒的上表面开有一系列略大于微粒的小孔，孔间距满足一定的关系，使得微粒进出盒子的过程中始终不与盒子接触．当微粒A以1m/s的速度从孔1进入盒子的瞬间，盒子B恰以v₁=0.4m/s的速度向右滑行．设盒子足够长，取重力加速度g=10m/s²，不计微粒的重力，微粒恰能顺次从各个小孔进出盒子．试求：
（1）从微粒第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程；
（2）微粒A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间；
（3）盒子上至少要开多少个小孔，才能保证微粒始终不与盒子接触．

Answer

（1）盒子做匀减速运动，求出盒子的加速度，根据匀变速直线运动位移速度公式即可求解；
（2）小球A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间分为两部分，A在盒子内运动时运动牛顿第二定律求出加速度，再用运动学基本公式求出时间，A在盒子外运动的时间根据运动学基本公式即可求得，时间之和即为经历的总时间；
（3）分别求出小球在盒内和盒外时的盒子的加速度，进而求出小球运动一个周期盒子减少的速度，再求出从小球第一次进入盒子到盒子停下，小球运动的周期数n，要保证小球始终不与盒子相碰，盒子上的小孔数至少为2n+1个．
【解析】
（1）微粒在盒子内、外运动时，盒子的加速度a′==μg=0.2×10 m/s2=2 m/s2，盒子全过程做匀减速直线运动，所以通过的总路程是：
（2）A在盒子内运动时，qE=ma方向以向上为正方向
由以上得a== m/s2=1×102 m/s2
A在盒子外运动时，qE=ma则a==1×102 m/s2  方向向下
A在盒子内运动的时间t1==s=2×10-2s，同理A在盒子外运动的时间t2=2×10-2s，A从第一次进入盒子到第二次进入盒子的时间t=t1+t2=4×10-2s．
（3）微粒运动一个周期盒子减少的速度为△v=a′（t1+t2）=2×（0.02+0.02）=0.08m/s
从小球第一次进入盒子到盒子停下，微粒球运动的周期数为n===5，故要保证小球始终不与盒子相碰，盒子上的小孔数至少为2n+1个，即11个．
答：（1）从微粒第一次进入盒子至盒子停止运动的过程中，盒子通过的总路程为0.04m；
（2）微粒A从第一次进入盒子到第二次进入盒子所经历的时间为4×10-2s；
（3）盒子上至少要开11个小孔，才能保证微粒始终不与盒子接触．