Question

如图所示，圆心在原点、半径为R的圆将xOy平面分为两个区域，在圆内区域Ⅰ（r≤R）和圆外区域Ⅱ（r＞R）分别存在两个匀强磁场，方向均垂直于xOy平面．垂直于xOy平面放置两块平面荧光屏，其中荧光屏甲平行于x轴放置在
y=-2.2R的位置，荧光屏乙平行于y轴放置在x=3.5R的位置．现有一束质量为m、电荷量为q（q＞0）、动能为E的粒子从坐标为（-R，0）的A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ，最终打在荧光屏甲上，出现亮点N的坐标为（0.4R，-2.2R）．若撤去圆外磁场，粒子也打在荧光屏甲上，出现亮点M的坐标为（0，-2.2R），此时，若将荧光屏甲沿y轴负方向平移，发现亮点的x轴坐标始终保持不变．不计粒子重力影响．
（1）求在区域Ⅰ和Ⅱ中粒子运动速度v₁、v₂的大小；
（2）求在区域Ⅰ和Ⅱ中磁感应强度B₁、B₂的大小和方向；
（3）若上述两个磁场保持不变，荧光屏仍在初始位置，但从A点沿x轴正方向射入区域Ⅰ的粒子束改为质量为m、电荷量为-q、动能为3E的粒子，求荧光屏上出现亮点的坐标．

Answer

由于洛伦兹力对粒子不做功，则运动的速度由粒子的动能求得．在没有圆外磁场时，粒子从A点射入，完成圆弧后射出．因此可以根据圆形磁场的半径来求出B1磁场大小与方向．当粒子沿y轴负方向射入磁场B2时，根据打到荧光屏甲上的坐标，结合几何关系，可以算出磁场B2的大小与方向．
当改变电荷的电性及初动能时，由B1磁场大小与方向可求出粒子的运动轨道半径，再由B2磁场大小与方向可求出粒子在此的轨道半径．从而由几何关系可确定粒子打到荧光屏的坐标．
【解析】
（1）由于在磁场中运动时洛仑兹力不做功，所以在区域Ⅰ和Ⅱ中粒子运动速度大小就是在A点入射时初始速度大小v，由可得

（2）粒子在区域Ⅰ中运动了四分之一圆周后，从C点沿y轴负方向进入区域Ⅱ的磁场．如图1所示，圆周运动的圆心是O1点，半径为

r1=R
由，得 
方向垂直xoy平面向外．  
粒子进入区域Ⅱ后做半径为r2的圆周运动，由，
可得，
圆周运动的圆心O2坐标为（r2，-R），圆周运动轨迹方程为

将N点的坐标（0.4R，-2.2R）代入上式，可得
r2=2R   
求得：
方向垂直xoy平面向里．   
（3）如图2所示，粒子先在区域Ⅰ中做圆周运动．由可知，
运动速度为           
轨道半径为       
由圆心O3的坐标（-R，）可知，O3A与O3O的夹角为30°．通过分析如图的几何关系，粒子从D点穿出区域Ⅰ的速度方向与x轴正方向的夹角为θ=60°
粒子进入区域Ⅱ后做圆周运动的半径为

其圆心O4的坐标为（Rcos60°+r4cos30°，Rsin60°-r4sin30°），
即（，），说明圆心O4恰好在荧光屏乙上．所以，亮点将出现在荧光屏乙上的P点，
其y轴坐标为
其x轴坐标为x=3.5R．