Question

如图所示，粗糙斜面的倾角为θ=37°，斜面上方有一半径为R=1m、圆心角等于143°的竖直圆弧形光滑轨道，轨道与斜面相切于B点，轨道的最高点为C．一质量为m=8kg的小球沿斜面向上运动，到达A点时小球的动能为E_KA=508J，经过B点后恰好能到达C点．已知小球与斜面间的动摩擦因数μ=3/8，重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）A、B两点间的距离；
（2）小球经过C点后第一次落到斜面上的位置．

Answer

（1）小球在圆形轨道上做圆周运动，由向心力公式可以求出小球在C点的速度；
以小球为研究对象，由能量守恒定律可以求出A与B间的距离．
（2）小球离开圆形轨道后做平抛运动，由平抛运动的规律可以求出小球第一次落到斜面上的位置．
【解析】
（1）小球恰好到达C点，小球在C点做圆周运动所需向心力由小球重力提供，
由牛顿第二定律可得：mg=m  ①，
小球由A到C的全过程，由能量守恒定律得：
EKA=mg（ABsin37°+R+Rcos37°）+μmgcos37°×AB+mvC2 ②，
由①②解得：AB=4.5m．
（2）作CO延长线交斜面于D点，从C点平抛后，
小球第一次落到斜面上F点，过F点作CO的垂线，与CO交于E点．
小球离开C点后做平抛运动，由平抛规律得：
水平方向：FD•cos37°=vCt   ③，
竖直方向：FDsin37°+R+=gt2 ④，
由③④解得：FD=3.75m，而AB=4.5m，BD=0.75m，即AD=3.75m
所以A点与F点重合，小球经 C点后第一次落到斜面上的位置为A点．
答：（1）A、B两点间的距离是4.5m；
（2）小球经过C点后第一次落到斜面上的A点．