Question

假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200km 的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6400km，地球同步卫星距地面高度为36000km，宇宙飞船和地球同步卫星绕地球同向运动，每当二者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站，某时刻二者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为（ ）
A．4次
B．6次
C．7次
D．8次

Answer

地球同步卫星与宇宙飞船均绕地球做圆周运动，则它们的半径的三次方之比与公转周期的二次方之比相等．当它们从相距最近到相距最远，转动的角度相差（2nπ+π）（n=0、1、2、…）．
【解析】
据开普勒第三定律                 （1）
   R1=4200km+6400km      R2=36000km+6400km     （2）
  可知载人宇宙飞船的运行周期T1与地球同步卫星的运行周期T2之比为，又已知地球同步卫星的运行周期为一天即24h，因而载人宇宙飞船的运行周期T1=h=3h
由匀速圆周运动的角速度ω=，所以宇宙飞船的角速度为，同步卫星的角速度为
因为两者运行的方向相同，因而可以视作追击问题．又因为是由两者相距最远的时刻开始，而两者处于同一直线且非位于地球同一侧时，二者相距最远，此时追击距离为π即一个半圆，追击时间为．
此后，追击距离变为2π即一个圆周，同理，追击时间为．
可以得到24h内共用时完成追击7次，即七次距离最近，因而发射了七次信号．