Question

如图所示为车站使用的水平传送带的模型，它的水平传送带的长度为L=8m，传送带的皮带轮的半径均为R=0.2m，传送带的上部距地面的高度为h=0.45m．现有一个旅行包（视为质点）以v=10m/s的初速度向右水平地滑上水平传送带，已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数为μ=0.6．本题中g取10m/s²．试讨论下列问题：
①．若传送带静止，旅行包滑到B端时，人若没有及时取下，旅行包点将从B端滑落，则包的落地点距B端的水平距离又是多少？
②．设皮带轮顺时针匀速运动，且皮带轮的角速度ω₁=40rad/s，旅行包落地点距B端的水平距离又是多少？
③．设皮带轮以不同的角速度顺时针匀速转动，画出旅行包落地点距B端的水平距离S 随皮带轮的角速度ω变化的图象．

Answer

（1）旅行包向右滑动，受到重力、支持力和滑动摩擦力，根据牛顿第二定律列式求加速度，然后根据速度位移公式列式求解末速度，最后根据平抛运动的分位移公式求解水平射程；
（2）如果旅行包一直减速，到达最右端的速度与传送带不动时的速度相同，则平抛的初速度相同，射程也就相同，故只需传送带的速度小于旅行箱到达最右端的速度即可；皮带的角速度ω1=40rad/s，旅行箱先减速后匀速，根据运动学公式和平抛运动的分位移公式列式求解．
（3）分三种情况进行讨论分析：一直匀减速运动，先匀减速后匀速，一直匀加速运动，进而求出角速度与水平位移的关系．
【解析】
（1）旅行包做匀减速运动，ma=μmg
  a=6m/s2
旅行包到达B端速度为=2m/s 
旅行包离开传送带后做平抛运动，则有：
包从B点到落地点的时间
包的落地点距B端的水平距离为s=vt
解得：s=0.6m
（2）当ω1=40rad/s时，皮带速度为v1=ω1R=8m/s
当旅行包速度也为v1=8m/s时，在皮带上运动了位移
解得：s=3m＜8m（1分以后旅行包作匀速直线运动，所以旅行包到达B端的速度也为v1=8m/s）
包的落地点距B端的水平距离为s1=v1t
解得：s1=2.4m
（3）皮带轮顺时针匀速转动，若v皮≤2m/s 
则旅行包一直做匀减速运动，到达B点的速度为2m/s，
皮带轮的临界角速度为
ω==rad/s=10rad/s                       
所以当ω≤10rad/s时，旅行包落地点距B端的水平距离S总是0.6m，
若物体在传送带上一直做匀加速直线运动，则根据位移-速度公式得：
2as=
解得：v=14m/s
即要求v皮≥14m/s，ω==70rad/s 
此时物体到达B点的速度为14m/s
s=vt=14×0.3m=4.2m
所以当ω≥70rad/s时，旅行包落地点距B端的水平距离S总是4.2m，
若2m/s＜v皮＜14m/s时，旅行包先减速运动，速度与传送带相同时做匀速直线运动，
最终速度与传送带速度相同，所以v=ωr
s=vt=0.06ω，图象是一条倾斜的直线
所以画出的图象如图所示．
答：①．包的落地点距B端的水平距离是0.6m；
②．设皮带轮顺时针匀速运动，且皮带轮的角速度ω1=40rad/s，旅行包落地点距B端的水平距离是2.4m；
③．图象如图所示．