Question

如图所示，长为l的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，当把绳子拉直时，绳子与竖直线夹角为60°，此时小球静止于光滑水平桌面上．
（1）当球以ω=做圆锥摆运动时，绳子张力T为多大？桌面受到压力N为多大？
（2）当球以角速度ω=做圆锥摆运动时，绳子的张力及桌面受到的压力各为多少？

Answer

（1）当球做圆锥摆运动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，采用正交分解法列方程求解绳子的张力和支持力，再由牛顿第三定律求出桌面受到的压力．
（2）当小球对桌面恰好无压力时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解此时小球的角速度．根据角速度ω=与临界角速度的关系，判断小球是否离开桌面．若小球桌面做圆周运动，再由牛顿第二定律求解绳子的张力．
【解析】
（1）对小球受力分析，作出力图如图1．
根据牛顿第二定律，得
   Tsin60°=mω2Lsin60°①
   mg=N+Tcos60°  ②
又ω=
解得
   T=mg，N=
（2）设小球对桌面恰好无压力时角速度为ω，即N=0
代入①②得ω=
由于ω=＞ω，故小球离开桌面做匀速圆周运动，则N=0此时小球的受力如图2．设绳子与竖直方向的夹角为θ，则有
  mgtanθ=mω2•Lsinθ③
   mg=Tcosθ        ④
联立解得  T=4mg
答：
（1）当球以ω=做圆锥摆运动时，绳子张力T=mg，桌面受到压力N=；
（2）当球以角速度ω=做圆锥摆运动时，绳子的张力为4mg，桌面受到的压力为零．