Question

如图所示，一内壁光滑的环形细圆管固定在水平桌面上，环内间距相等的三位置处，分别有静止的大小相同的小球A、B、C，质量分别为m₁=m，m₂=m₃=1.5m，它们的直径略小于管的直径，小球球心到圆环中心的距离为R，现让A以初速度v沿管顺时针运动，设各球之间的碰撞时间极短，A和B相碰没有机械能损失，B与C相碰后能结合在一起，称为D．求：
（1）A和B第一次相碰后各自的速度大小；
（2）B和C相碰结合在一起后对管沿水平方向的压力大小；
（3）A和B第一次相碰后，到A和D相碰经过的时间．

Answer

（1）A和B相碰时没有机械能损失，遵守动量守恒和机械能两大守恒，分别列出两大守恒定律的方程，求出A和B第一次相碰后各自的速度大小；
（2）根据动量守恒定律求出B和C相碰结合在一起的速度．碰撞后管对结合体的水平方向的弹力提供向心力，根据牛顿运动定律求出B和C相碰结合在一起后对管沿水平方向的压力大小；
（3）小球碰撞前后都在圆管中做匀速圆周运动，根据弧长与速度的比值，求出A、B碰后，B与C相碰所经历的时间．
从A和B第一次相碰后，到D与A相碰，AD所通过的总弧长为，两者路程之和等于总弧长，列式求解A和B第一次相碰后，到A和D相碰经过的时间．
【解析】
（1）设A、B碰撞后速度分别为v1、v2，根据动量守恒和机械能两守恒得：
     mv=mv1+1.5mv2

联立解得：
     （负号表示A球逆时针返回），
（2）由上面解答可知，BC首先要碰撞，设B和C相碰结合在一起后速度为v3，则由动量守恒有：
 1.5mv2=3mv3
得：v3==
设管对球沿水平方向的压力N，此力提供D球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：
    ，
由牛顿第三定律得知，B和C相碰结合在一起后对管沿水平方向的压力大小：
N′=N=；
（3）A、B碰后，B经时间t1与C相碰，再经时间t2，D与A相碰

从A和B第一次相碰后，到D与A相碰：

∴A和B第一次相碰后，到A和D相碰经过的时间t为：

答：
（1）A和B第一次相碰后各自的速度大小分别为和；
（2）B和C相碰结合在一起后对管沿水平方向的压力大小为；
（3）A和B第一次相碰后，到A和D相碰经过的时间为．