Question

如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L．M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．导轨和金属杆的电阻可忽路．让金属杆ab沿导轨由静止开始下滑，经过足够长的时间后，金属杆达到最大速度v_m，在这个过程中，电阻R上产生的热量为Q．导轨和金属杆接触良好，它们之间的动摩擦因数为μ且μ＜tanθ．已知重力加速度为g．
（1）求磁感应强度的大小；
（2）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到v₁（v₁＜v_m）时，求此时杆的加速度大小；
（3）求金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中下降的高度．

Answer

（1）金属杆先沿导轨向下做加速度减小的变加速运动，后做匀速运动，速度达到最大值，此时金属杆受力平衡，根据平衡条件和安培力公式，求出磁感应强度B的大小．
（2）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到v1（v1＜vm）时，求出安培力，由牛顿第二定律求解加速度大小．
（3）金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中，其重力势能减小，转化为杆的动能、摩擦生热和电路中的焦耳热，根据能量守恒定律求解杆下降的高度．
【解析】
（1）当ab匀速运动时，金属杆的受力图如图所示（从前向后看的视图）：图中Ff为滑动摩擦力，FN为斜面支持力，F安为感应电流的安培力，mg为导体棒的重力．这时导体棒匀速直线运动，其所受的合力为零，则有：
  mgsinθ=Ff+F安
  FN=mgcosθ，
由滑动摩擦力公式：Ff=μFN，
由安培力公式F安=BIL，由欧姆定律I=，由法拉第电磁感应定律得E=BLvm，得F安=
解得：
（2）当导体棒的速度为v1时，由牛顿第二定律得：mgsinθ-μmgcosθ-BI'L=ma，
其中I'为速度时v1时导体棒中的感应电流，I'=，
代入上式解得加速度  a=
（3）由能量守恒知，导体棒减少的重力势能，转化为动能、内能和电能，电能通过电阻R又转化为热量．所以满足：
 ，其中W'为克服摩擦力做的功，
，FN=mgcosθ，
解得金属棒下降的高度为 
答：
（1）磁感应强度的大小为；
（2）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到v1（v1＜vm）时，此时杆的加速度大小为；
（3）金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中下降的高度为．