Question

如图（a）所示，一端封闭的两条平行光滑导轨相距L，距左端L处的中间一段被弯成半径为H的1/4圆弧，导轨左右两段处于高度相差H的水平面上．圆弧导轨所在区域无磁场，右段区域存在磁场B，左段区域存在均匀分布但随时间线性变化的磁场B（t），如图（b）所示，两磁场方向均竖直向上．在圆弧顶端，放置一质量为m的金属棒ab，与导轨左段形成闭合回路，从金属棒下滑开始计时，经过时间t滑到圆弧底端．设金属棒在回路中的电阻为R，导轨电阻不计，重力加速度为g．
（1）问金属棒在圆弧内滑动时，回路中感应电流的大小和方向是否发生改变？为什么？
（2）求0到时间t内，回路中感应电流产生的焦耳热量．
（3）探讨在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B的一瞬间，回路中感应电流的大小和方向．

Answer

（1）由图看出，左段区域中磁感应强度随时间线性变化，其变化率一定，由法拉第电磁感应定律得知，回路中磁通量的变化率相同，回路中产生恒定的电流．
（2）由法拉第电磁感应定律求出回路中感应电动势，根据欧姆定律和焦耳定律结合求解焦耳热．
（3）在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B的一瞬间，在很短的时间△t内，根据法拉第电磁感应定律E=，及v=，△Φ=BL△x+L2△B（t），I=求出感应电流的表达式，再进行讨论．
【解析】
（1）感应电流的大小和方向均不发生改变．因为金属棒滑到圆弧任意位置时，回路中磁通量的变化率相同．
（2）0-t时间内，设回路中感应电动势大小为E，感应电流为I，感应电流产生的焦耳热为Q，由法拉第电磁感应定律：=

根据闭合电路的欧姆定律：  由焦耳定律
有：Q=I2Rt=
（3）设金属进入磁场B一瞬间的速度为v，金属棒在圆弧区域下滑的过程中，机械能守恒：mgH=
在很短的时间△t内，根据法拉第电磁感应定律，金属棒进入磁场B区域瞬间的感应电动势为E，则：
 E=，v=△Φ=BL△x+L2△B（t）         
由闭合电路欧姆定律得：I=
解得感应电流：I=
根据上式讨论：
I．当时，I=0；
II．当＞时，I=，方向为b→a；
III．当＜时，I=，方向为a→b．
答：
（1）问金属棒在圆弧内滑动时，回路中感应电流的大小和方向均不发生改变．
（2）0到时间t内，回路中感应电流产生的焦耳热量是．
（3）探讨在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场B的一瞬间，回路中感应电流的大小和方向分别为：
I．当时，I=0；
II．当＞时，I=，方向为b→a；
III．当＜时，I=，方向为a→b．