Question

如图所示，在直角坐标系xOy决定的平面内，有两个同心圆，外侧圆半径为R₁，内侧圆半径为R₂，圆心为O．两圆之间的圆环内有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面指向纸内．在圆心O处有一质子源，沿y轴负方向发射质子流，质子流中质子的速度范围为0～v．结果有的质子从内侧圆离开磁场，有的质子从外侧圆离开磁场．已知质子带电量为e，质量为m，不考虑质子通过磁场后再进入磁场的情况．
（1）求所有质子通过的内侧圆的孤长；
（2）质子在磁场中运动的最长时间．

Answer

该题是属于有边界磁场的问题，解决此题，首先要根据题意画出质子的轨迹图，确定轨迹与外侧圆相切时，轨迹的弧长最长，根据相关的数学知识即可求出轨迹弧长的最大值．由带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期公式可知，周期与运动半径及速度没有关系，运动时间与轨迹所对应的圆心角有关，所以只要求出最大的圆心角，也就可以求出在磁场中运动的最长时间了．
【解析】
（1）由题意可知，轨迹圆与外侧圆相切时，对应的质子离开内侧圆的弧长最长，设圆半径为r，如图所示，由几何关系可得：

联立以上两式解得：

所以，所有质子通过的内侧圆的弧长：
L=2θ•R2
∴
（2）质子运动周期：

如图所示，质子从内侧圆离开对应的最大圆心角为：
α=2π-（π-2θ）=π+2θ
所以，质子从内侧圆离开的质子在磁场中运动的最长时间为：
．
从外侧圆离开的质子速度更大，弧长更短，所以在磁场中运动的时间比tmax小，tmax即为质子在磁场中运动的最长时间．
答：（1）求所有质子通过的内侧圆的孤长为．
（2）质子在磁场中运动的最长时间为．