Question

如图所示为车站使用的水平传送带的模型，它的水平传送带的长度为L=8m，传送带的皮带轮的半径均为R=0.2m，传送带的上部距地面的高度为h=0.45m，现有一个旅行包（视为质点）以速度v=10m/s的初速度水平地滑上水平传送带．已知旅行包与皮带之间的动摩擦因数为μ=0.6．皮带轮与皮带之间始终不打滑，g取10m/s2．讨论下列问题：
（1）若传送带静止，旅行包滑到B点时，人若没有及时取下，旅行包将从B端滑落．则包的落地点距B端的水平距离为多少？
（2）设皮带轮顺时针匀速转动，若皮带轮的角速度ω₁=20rad/s，旅行包落地点距B端的水平距离为多少？
（3）设皮带轮顺时针匀速转动，若皮带轮的角速度为ω，旅行包落地点距B端的水平距离为多少？（结果可以用ω表示）

Answer

（1）根据牛顿第二定律求出旅行包做匀减速直线运动的加速度大小，根据速度位移公式求出旅行包到达B端的速度，离开B点做平抛运动，根据高度求出平抛运动的时间，从而求出水平位移．
（2）若皮带轮的角速度ω1=20rad/s，根据v=Rω求出皮带线速度的大小，得知旅行包滑上传送带做匀减速直线运动，当速度达到传送带速度做匀速直线运动．从而根据平抛运动知识求出旅行包落地点距B端的水平距离．
（3）当传送带的速度小于2m/s时，旅行包一直做匀减速直线运动，到达B端的速度为2m/s．
当传送带的速度大于2m/s，小于10m/s，旅行包先做匀减速直线运动，然后做匀速直线运动．
当传送带的速度大于10m/s，小于14m/s，旅行包先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动．
当传送带的速度大于14m/s，则旅行包一直做匀加速直线运动．
【解析】
（1）旅行包做匀减速直线运动，a=μg=6m/s2．
旅行包到达B端的速度为v=．
包的落地点距B端的水平距离为s=vt=．
（2）当ω1=20rad/s时，皮带的速度为v1=Rω1=4m/s．
所以旅行包到达B端的速度也为4m/s．
包的落地点距B段的水平距离为s=v1t=4×0.3m=1.2m．
（3）当传送带的速度小于2m/s时，即0＜ω＜10rad/s，旅行包一直做匀减速直线运动，到达B端的速度为2m/s，则s=vt=0.6m．
当传送带的速度大于2m/s，小于10m/s，即10rad/s＜ω＜50rad/s，旅行包先做匀减速直线运动，然后做匀速直线运动，则s=Rωt=0.06ω．
当传送带的速度大于10m/s，小于14m/s，即50rad/s＜ω＜70rad/s，旅行包先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动．则s=Rωt=0.06ω．
当传送带的速度大于14m/s，即ω＞70rad/s则旅行包一直做匀加速直线运动．到达B端的速度为14m/s，则s=vt=4.2m．
答：（1）则包的落地点距B端的水平距离为0.6m．
（2）旅行包落地点距B端的水平距离为1.2m．
（3）当0＜ω＜10rad/s，s=vt=0.6m．
当10rad/s＜ω＜50rad/s，s=Rωt=0.06ω．
当50rad/s＜ω＜70rad/s，s=Rωt=0.06ω．
当ω＞70rad/s，s=vt=4.2m．