Question

如图所示，在水平桌面上放有长木板C，C上右端是固定挡板P，在C上左端和中点处各放有小物块A和B，A、B的尺寸以及P的厚度皆可忽略不计，A、B之间和B、P之间的距离皆为L．设木板C与桌面之间无摩擦，A、C之间和B、C之间的静摩擦因数及滑动摩擦因数均为μ；A、B、C（连同挡板P）的质量相同．开始时，B和C静止，A以某一初速度向右运动．试问下列情况是否能发生？要求定量求出能发生这些情况时物块A的初速度V应满足的条件，或定量说明不能发生的理由．
（1）物块A与B发生碰撞；
（2）物块A与B发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与挡板P发生碰撞；
（3）物块B与挡板P发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与A在木板C上再发生碰撞；
（4）物块A从木板C上掉下来；
（5）物块B从木板C上掉下来．

Answer

开始过程是A与C相互作用，此时可假设B与C相对静止，再通过计算假设正确，再根据动量守恒定律求出速度，再结合能量守恒定律求出它们发生的位移，从而找出与B发生碰撞的条件，其它情况的求法类似．
【解析】
（1）、以m表示物块A、B和木板C的质量，当物块A以初速度向右运动时，A将受到木板施加的向左的大小为μmg的滑动摩擦力而减速，木板C则受到物块A施加的大小为μmg的滑动摩擦力和物块B施加的大小为f的摩擦力而做加速运动，物块B则因受木板C施加的摩擦力f作用而加速，设A、B、C三者的加速度分别为、和，则由牛顿第二定律，
有μmg=m，μmg-f=m，f=m，事实上此题中=，即B、C之间无相对运动，这是因为当=时，由上式可得f=μmg     （1），
它小于最大静摩擦力μmg．可见静摩擦力使物块B、木板C之间不发生相对运动．
若物块A刚好与物块B不发生碰撞，则物块A运动到物块B所在处时，A与B的速度大小相等．因物块B与木板C速度相等，所以此时三者速度均相同，设为，由动量守恒定律得
m=3m   （2），
在此过程中，设木板C运动的路程为，则物块A的路程为+L，如图所示，

由动能定理得
对A有m-m=-μmg（）       （3）
对C与B有（2m）=                （4）
解（3）、（4）可得（3m）-m=-μmgL          （5）式中L就是物块A相对木板C运动的路程．
解（2）、（5）得
=             （6）
即物块A的初速度=时，A刚好不与B发生碰撞，若＞，则A与B发生碰撞，故A与B发生碰撞的条件是＞       （7）
即A与B发生碰撞的条件是＞．
（2）、当物块A的初速度满足（7）式时，A与B将发生碰撞，设碰撞的瞬间，A、B、C三者的速度分别为、和，则有
＞     =      （8）
在物块A、B发生碰撞的极短时间内，木板C对它们的摩擦力的冲量非常小，可忽略不计．故在碰撞过程中，A与B构成的系统动量守恒，而木板C的速度保持不变，因为物块A、B间的碰撞是弹性的，系统的机械能守恒，又因为质量相等，由动量守恒和机械能守恒可以证明（证明从略），碰撞前后A、B交换速度，若碰撞刚结束时，A、B、C三者速度分别为、和，则有=    =    =    （9）
由（8）、（9）式可知，物块A与木板C速度相等，保持相对静止，B相对AC向右运动，以后发生的过程相当于第1问中所进行的延续，由物块B代替A继续向右运动．
若物块B刚好与挡板P不发生碰撞，则物块B以速从C板的中点运动到挡板P所在处时与C的速度相等．A与C的速度大小是相等的，A、B、C三者的速度相等，设此时三者的速度，根据动量守恒定律有m=3m    （10）
A以初速度开始运动，接着与B发生完全弹性碰撞，碰撞后物块A相对木板C静止，B到达P所在处这一整个过程中，先是A相对C运动的路程为L，接着是B相对C运动的路程为L，整个系统动能的改变，等于系统内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和，即
（3m）-m=-μmg.2L        （11）
解（10）、（11）两式得   =      （12）
即物块A的初速度 = 时，A与B碰撞，但B与P刚好不发生碰撞，
若使 ＞，就能使B与P发生碰撞，故A与B碰撞后，物块B与挡板P发生碰撞的条件是
 ＞                                     （13）
即物块A与B发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与挡板P发生碰撞的条件是＞．
（3）、若物块A的初速度满足条件（13）式，则在A、B发生碰撞后，B将与挡板P发生碰撞，设在碰撞前瞬间，A、B、C三者的速度分别为、和，则有
   ＞=                      （14）
B与P碰撞后的瞬间，A、B、C三者的速度分别为、和，则仍类似于第2问解答中（9）的道理，有
=     =    =            （15）
由（14）、（15）式可知B与P刚碰撞后，物块A与B的速度相等，都小于木板C的速度，即
＞=                                   （16）
在以后的运动过程中，木板C以较大的加速度向右做减速运动，而物块A和B以相同的较小的加速度向右做加速运动，加速度的大小分别为
=2μg     ==μg                        （17）
加速过程将持续到或者A和B与C的速度相同，三者以相同速度向右做匀速运动，或者木块A从木板C上掉了下来．因此物块B与A在木板C上不可能再发生碰撞．
即物块B与挡板P发生碰撞（设为弹性碰撞）后，物块B与A在木板C上不可能再发生碰撞．
（4）、若A恰好没从木板C上掉下来，即A到达C的左端时的速度变为与C相同，这时三者的速度皆相同，以表示，由动量守恒有
      3m=m                               （18）
从A以初速度在木板C的左端开始运动，经过B与P相碰，直到A刚没从木板C的左端掉下来，这一整个过程中，系统内部先是A相对C的路程为L；接着B相对C运动的路程也是L；b与P碰后直到A刚没从木板C上掉下来，A与B相对C运动的路程也皆为L．整个系统动能的改变应等于内部相互间的滑动摩擦力做功的代数和，即
（3m）-m=-μmg.4L                                     （19）
由（18）、（19）两式，得
=                                       （20）
即当物块A的初速度=时，A刚好不会从木板C上掉下．若＞，则A将从木板C上掉下，故A从C上掉下的条件是
     ＞                                        （21）
即物块A从木板C上掉下来的条件是＞．
（5）若物块A的初速度满足条件（21）式，则A将从木板C上掉下来，设A刚要从木板C上掉下来时，A、B、C三者的速度分别为、和，则有
=＜                                   （22）
这时（18）式应改写为
m=2+                               （23）
（19）式应改写为
+m-m=-μmg.4L           （24）
当物块A从木板C上掉下来后，若物块B刚好不会从木板C上掉下，即当C的左端赶上B时，B与C的速度相等．设此速度为，则对B、C这一系统来说，由动量守恒定律，有
+m=2m                              （25）
在此过程中，对这一系统来说，滑动摩擦力做功的代数和为-μmgL，由动能定理可得
-（+）=-μmgL             （26）
由（23）、（24）、（25）、（26）式可得
=4                                        （27）
即当＞4时，物块B刚好不能从木板C上掉下．若，则B将从木板C上掉下，故物块B从木板C上掉下来的条件是
＞                                       （28）
即物块B从木板C上掉下来的条件是＞．