Question

如图所示，在磁感应强度为B=2T，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，有一个由两条曲线状的金属导线及两电阻（图中黑点表示）组成的固定导轨，两电阻的阻值分别为R₁=3Ω、R₂=6Ω，两电阻的体积大小可忽略不计，两条导线的电阻忽略不计且中间用绝缘材料隔开，导轨平面与磁场垂直（位于纸面内），导轨与磁场边界（图中虚线）相切，切点为A．现有一根电阻不计、足够长的金属棒MN与磁场边界重叠，在A点对金属棒MN施加一个方向与磁场垂直、位于导轨平面内的并与磁场边界垂直的拉力F，将金属棒MN以速度v=5m/s匀速向右拉，金属棒MN与导轨接触良好，以切点为坐标原点，以F的方向为正方向建立x轴，两条导线的形状符合曲线方程y=±2sinx m．求：
（1）推导出感应电动势e的大小与金属棒的位移x的关系式；
（2）整个过程中力F所做的功；
（3）从A到导轨中央的过程中通过R₁的电荷量．

Answer

根据法拉第电磁感应定律表示出感应电动势e的大小．
根据能量守恒得外界的能量转化成整个电路产生的焦耳热．
【解析】
（1）L=2y=4sinx m
根据法拉第电磁感应定律得：
E=BLv=40sinx V
（2）因为 x=vt，所以
E=BLv=40sint  V
由于导体做匀速运动，力F所做的功等于电路中电流所做的功．
电动势有效值E′==40  V
导体切割磁感线的时间t==1.6 s，电路中总电阻R=2Ω，
拉力F所做的功W=Q热=t=1280 J
（3）由E=BLv=40sint  V
可知Emax=BSω=Φmω，
所以Φm==Wb
通过电阻R1的电量为q=△t=•= C．
答：（1）推导出感应电动势e的大小与金属棒的位移x的关系式是E=40sinx V；
（2）整个过程中力F所做的功是1280 J；
（3）从A到导轨中央的过程中通过R1的电荷量是 C．