Question

如图所示，竖直的xOy平面内，在x≤0、y≥0的区域内有电场强度E₁=5×10²N/C、方向竖直向下的匀强电场，x＞0、y＜0的区域内有电场强度为E₂、方向竖直向上的匀强电场，E₂=5E_l．不带电的小球B在xOy面内绕x轴上的O1点沿顺时针做圆周运动，运动到O点时速度大小v_o=20m/s，带正电的小球A在y轴上纵坐标y₁=0.4m的P点静止释放，恰好和B在O点发生正碰，并瞬间合成一个整体C，C能够经过最高点0₂和最低点0₃做圆周运动．A，B的质量都是m=0.1kg，拴小球B的轻质绝缘细绳长L=0.8m，A的电荷量q=2×10^-3C．A、B、C都可以看作质点．g取10m/s²．求：
（1）小球A下落到O点的速度v₁是多大？
（2）C运动到0₃时，绳对C的拉力T是多大？
（3）小球A从y轴上y＞0的某些位置开始下落，恰好在O点与B合成为C后，不能够做经过0₂和0₃的圆周运动．求这些位置的范围？

Answer

（1）小球A下落到O点的过程中由动能定理即可求解；
（2）由动量守恒求得A与B碰后共同速度，再由动能定理结合向心力公式求解绳对C的拉力；
（3）C不能做能够经过O2和O3的圆周运动，即C不能达到能够经过O2和O3所需的最小速度．根据动量守恒定律、圆周运动向心力公式、动能定理联立方程即可求得范围．
【解析】
（1）由动能定理有（qE1+mg）y1=
解得v1=4m/s                   
（2）设A与B碰后共同速度为v2，以竖直向上为正方向，由动量守恒得
mv-mv1=2mv2
解得v2=8m/s
设C运动到O3时速度v3，则
2mgL-qE2L=-
T+qE2-2mg=2m
解得T=7N
（3）C不能做能够经过O2和O3的圆周运动，即C不能达到能够经过O2和O3所需的最小速度．设C能够做经过O2的圆周运动，在O2所需的最小速度为v4，设C能够做经过O3的圆周运动，在O3所需的最小速度为v5，则
2mg=2m
qE2-2mg=2m
解得：v4=m/s，v5=m/s
C经过O3时速度为v5=m/s，设经过O2时速度为v6，则
2qE2L-4mgL=，由于2qE2L-4mgL＞0，所以v6＞v5=m/s＞v4=m/s．
即C能够做经过O3就一定能够做经过O2．
当C能够做经过O3的速度小于v5=m/s时，不能做能够经过O2和O3的圆周运动．                                              
设C经过O3的速度为v5时，A与B碰后在O点的共同速度为v7，则
2mgL-qE2L=
解得：v7=6m/s                                   
C在O点的速度只要大小为v7，不管是向上还是向下，C都能够经过O3．
设C的速度向上时，碰前A的速度为v8，在y轴上开始位置的坐标为y2，则
mv-mv8=2mv7 
（qE1+mg）y2=
解得v8=8m/s，y2=1.6m                      
设C的速度向下时，碰前A的速度为v9，在y轴上开始位置的坐标为y3，则
mv-mv9=-2mv7 
（qE1+mg）y3=
解得v9=32m/s，y3=25.6m                  
即1.6m＜y＜25.6m时，C不能做能够经过O2和O3的圆周运动． 
答：（1）小球A下落到O点的速度为4m/s；
（2）C运动到03时，绳对C的拉力T是7N；
（3）当1.6m＜y＜25.6m时，C不能做能够经过O2和O3的圆周运动．