Question

如图所示是建筑工地常用的一种“深穴打夯机”．工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速运转将夯杆从深为h的坑中提上来，当两个滚轮彼此分开时，夯杆被释放，最后夯杆在自身的重力作用下，落回深坑夯实坑底．然后，两个滚轮再次压紧夯杆，夯杆再次被提上来，如此周而复始工作．已知两个滚轮的半径为R=40cm，角速度ω=10rad/s，每个滚轮对夯杆的正压力F_N=2×10⁴ N，滚轮与夯杆的动摩擦因数µ=0.3，夯杆质量m=1×10³ kg，坑深h=6.4m．假定在打夯的过程中坑的深度不变，且夯杆底端刚到坑口时，速度恰好为零．取g=10m/s²，．求：
（1）夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为多大；此时夯杆底端离坑底多高；
（2）每次打夯的周期为多少．

Answer

（1）假设夯杆先加速上升，最后减速上升，结合牛顿第二定律和运动学公式求出匀加速直线运动的末速度，发现大于滚轮的线速度，夯杆上升过程中经历了匀加速直线运动，匀速直线运动和匀减速直线运动．从而得知释放时的速度等于滚轮的线速度，根据速度位移公式求出速度达到滚轮速度的位移．
（2）根据运动学公式求出匀加速加速、匀速和匀减速上升的时间，然后计算自由落体的时间，总时间即为打夯周期；
【解析】
（1）根据牛顿第二定律得，2f-mg=ma
解得a==2m/s2．
设夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为v，
根据h=，解得v=．
因为滚轮的线速度v=Rω=4m/sm/s．
所以夯杆上升过程中经历了匀加速直线运动，匀速直线运动和匀减速直线运动．夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为4m/s．
此时夯杆底端离坑底的高度．
（2）夯杆上升过程中经历了匀加速直线运动，匀速直线运动和匀减速直线运动．
向上匀加速直线运动的时间，匀减速直线运动的时间
匀减速直线运动的位移
则匀速直线运动的位移h2=h-h1-h3=6.4-4-0.8m=1.6m
则匀速运动的时间．
自由落体运动阶段，解得
则打夯的周期为T=t1+t2+t3+t4=3.92s
答：（1）夯杆上升过程中被滚轮释放时的速度为4m/s；此时夯杆底端离坑底4m．
（2）每次打夯的周期为3.92s．