Question

地面上有一个半径为R的圆形跑道，高为h的平台边缘上的P点在地面上P′点的正上方，P′与跑道圆心O的距离为L（L＞R），如图所示．跑道上停有一辆小车，现从P点水平抛出小沙袋，使其落入小车中（沙袋所受空气阻力不计）．问：
（1）当小车分别位于A点和B点时（∠AOB=90°），沙袋被抛出时的初速度各为多大？
（2）若小车在跑道上运动，则沙袋被抛出时的初速度在什么范围内？
（3）若小车沿跑道顺时针运动，当小车恰好经过A点时，将沙袋抛出，为使沙袋能在B处落入小车中，小车的速率v应满足什么条件？

Answer

（1）小车分别位于A点和B点时，沙袋从P点开始做的都是平抛运动，根据在竖直方向上的自由落体运动，可以求得运动的时间，根据水平方向上的匀速直线运动可以求得沙袋的初速度的大小；
（2）小车在A点时水平的位移最小，此时的初速度也是最小的，当小车在B点时，水平的位移最大，此时的初速度是最大的，沙袋被抛出时的初速度应该在AB两点的初速度之间；
（3）要使沙袋能在B处落入小车中，在沙袋落到B点时，小车要刚好到达B位置，小车可以是经过圆周到达B点，也可以是经过整数个圆周之后再过圆周到达B点，根据它们的时间相同可以求得小车速度的关系．
【解析】
（1）沙袋从P点被抛出后做平抛运动，设它的落地时间为t，则
h=gt2
解得 t=（1）
当小车位于A点时，有
xA=vAt=L-R（2）
解（1）、（2）得vA=（L-R）
当小车位于B点时，有
xB=vBt=（3）
解（1）、（3）得vB=
（2）若小车在跑道上运动，要使沙袋落入小车，最小的抛出速度为
v0min=vA=（L-R）（4）
若当小车经过C点时沙袋刚好落入，抛出时的初速度最大，有
xc=v0mint=L+R （5）
解（1）、（5）得 v0min=（L+R）
所以沙袋被抛出时的初速度范围为
（L-R）≤v≤（L+R）
（3）要使沙袋能在B处落入小车中，小车运动的时间应与沙袋下落时间相同
tAB=（n+）（n=0，1，2，3…）（6）
所以tAB=t=
解得v=（4n+1）πR（n=0，1，2，3…）．
答：（1）当小车分别位于A点和B点时（∠AOB=90°），沙袋被抛出时的初速度为vA=（L-R），vB=；
（2）若小车在跑道上运动，则沙袋被抛出时的初速度范围为（L-R）≤v≤（L+R）；
（3）若小车沿跑道顺时针运动，当小车恰好经过A点时，将沙袋抛出，为使沙袋能在B处落入小车中，小车的速率v应满足v=（4n+1）πR（n=0，1，2，3…）．