Question

如图所示，某货场要将质量为m₁=100kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物从轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8m．地面上紧靠轨道依次排放着完全相同的木板A、B，长度均为l=2m，质量均为m₂=100kg，木板上表面与轨道末端相切．货物与木板间的动摩擦因数为μ₁，木板与地面间的动摩擦因数μ=0.2．（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力．
（2）若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求μ₁应满足的条件．

Answer

（1）物体下滑的过程中，机械能守恒，根据机械能守恒可以得出到达底端时的速度，再由向心力的公式可以求得物体受到的支持力的大小，根据牛顿第三定律可以得到货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小；
（2）货物滑上木板A时，木板不动，说明此时货物对木板的摩擦力小于地面对木板的摩擦力的大小，而滑上木板B时，木板B开始滑动，说明此时货物对木板的摩擦力大于了地面对木板的摩擦力的大小，由此可以判断摩擦因数的范围．．
【解析】
（1）设货物滑到圆轨道末端是的速度为V，对货物的下滑过程中根据机械能守恒定律得，
   mgR=m1V2       ①
设货物在轨道末端所受支持力的大小为FN，
根据牛顿第二定律得，FN-m1g=m1 ②
联立以上两式代入数据得，FN=3000N   ③
根据牛顿第三定律，货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小为3000N，方向竖直向下．
（2）若滑上木板A时，木板不动，由受力分析得μ1m1g≤μ2（m1+2m2 ）g           ④
若滑上木板B时，木板B开始滑动，由受力分析得μ1m1g＞μ2（m1+m2 ）g           ⑤
联立④⑤式代入数据得0.4＜μ1≤0.6 
 答：（1）求货物到达圆轨道末端时对轨道的压力大小为3000N，方向竖直向下；
（2）若货物滑上木板A时，木板不动，而滑上木板B时，木板B开始滑动，求μ1应满足的条件0.4＜μ1≤0.6