Question

游乐场过山车可抽象为如下模型，从一定高度由静止滚下的质量为m小球、先经过一半径为R的圆轨道后再沿平直轨道冲上一半径为5R的圆弧，要求小球能安全地完成在轨道上运行，一切阻力不计．
（1）小球释放高度满足条件
（2）满足上述条件小球在圆轨道顶点受到最大轨道压力．

Answer

（1）小球能安全地完成在轨道上运行的条件是在最高点始终与轨道之间存在相互作用力，若释放位置过低则可能通不过圆形轨道最高点，若释放位置过高则有可能从圆弧轨道飞出去
（2）对应于最高的释放位置，利用牛顿第二定律分析在圆形轨道最高点的受力即可
【解析】
（1）由于小球能安全地完成在轨道上运行，在圆形轨道最高点最小速度为v1，则有牛顿第二定律得：
mg=①
对应从小球下落点hmin到圆形轨道最高点，应用动能定理得：
mg（hmin-2R）=m②
小球到达圆弧轨道的最高点的最大速度速度v2，在此位置应满足：
mg=③
对应从小球下落点hmax到圆形轨道最高点，应用动能定理得：
mg（hmax-2.5R）=m④
由①②③④解得：hmin=2.5R，hmax=5R⑤
所以，释放高度h满足条件为：2.5R≤h≤5R⑥
（2）当小球从最高位置释放时，小球在圆轨道最高点受压力最大，对此过程应用动能定理，
mg（hmax-2R）=mv2⑦
在最高点应用牛队第二定律得：
N+mg=⑧
由⑥⑦⑧得：N=5mg
答：（1）释放高度h满足条件为：2.5R≤h≤5R
（2）在圆轨道最高点受压力最大为5mg