Question

我国于2007年10月24日，在西昌卫星发射中心，将一颗探月卫星“嫦娥一号”成功发射升空，在经历14天的飞行后，“嫦娥一号”卫星接近月球，实施首次“制动变轨”，进入月球捕获椭圆轨道，又经历两次“制动变轨”，最终进入月球200km的环月预定工作轨道（如图所示），开展拍摄三维影像等工作．（已知半径为R的球的体积V=πR³）
（1）卫星在靠近月球前先进行变轨，在预定点处启动卫星上的喷气推进器，为使卫星从椭圆轨道进入环月飞行圆轨道，如图所示，推进器是向前喷气还是向后喷气？
（2）卫星在环月圆轨道绕行n圈，飞行时间为t，已知月球半径为R，月球表面处重力加速度为g，试推导卫星在环月圆轨道上运行时离月球表面高度为h的表达式；
（3）已知地球和月球的半径之比为=3.6，表面的重力加速度之比为=6，求地球和月球的密度之比．

Answer

“嫦娥一号”从椭圆轨道进入环月飞行圆轨道，做逐渐靠近圆心的运动，要实现这个运动必须减小“嫦娥一号”所需向心力．
“嫦娥一号”星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列出等式．忽略星球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式求解．
根据密度的公式和已知量表示出密度进行之比．
【解析】
（1）“嫦娥一号”从椭圆轨道进入环月飞行圆轨道，做逐渐靠近圆心的运动，即做向心运动，应减速，故向前喷气．
（2）“嫦娥一号”星绕月球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列出等式，
=mr  ①
在月球表面，根据万有引力等于重力列出等式：
=m′g  ②
卫星在环月圆轨道绕行n圈，飞行时间为t，所以T=  ③
r=R+h   ④
由①②③④解得：h=-R
（3）在星球表面，根据万有引力等于重力列出等式
=mg   ρ=
ρ=
已知地球和月球的半径之比为=3.6，表面的重力加速度之比为=6，
所以地球和月球的密度之比==

答：（1）推进器是向前喷气．
（2）卫星在环月圆轨道上运行时离月球表面高度为h的表达式是h=-R；
（3）地球和月球的密度之比是．