Question

（1）如图所示，某种变速自行车有三个链轮和六个飞轮，链轮和飞轮的齿数如下表所示．该自行车的前后轮周长为2m，人脚踩踏板的转速为每秒钟1.5转．若采用的链轮和飞轮齿数分别为48和24，则该种组合下自行车行驶时的速度为     m/s；在踏板的转速不变的情况下，通过选择不同的链轮和飞轮，该自行车行驶的最大和最小速度之比为    ．

（2）从离地H高处自由下落小球a，同时在它正下方H处以速度V0竖直上抛另一小球b，不计空气阻力，则小球b在上升过程中与a球相遇的条件是    ．
（3）如图所示，光滑圆管形轨道AB部分平直，BC部分是处于竖直平面内半径为R的半圆，圆管截面半径r＜＜R，有一质量为m，半径比r略小的光滑小球以水平初速度v射入圆管．要使小球从C端出来的瞬间，对管的内壁有压力，则初速度v应满足的条件是    ．

Answer

（1）在运动的过程中，脚踏板和链轮因为共轴，有相同的角速度，链轮的边缘和飞轮的边缘通过链条连接，有相同的线速度大小，飞轮和后轮共轴，有相同的角速度．脚踏板以恒定的角速度转动时，当链轮的齿数最多，飞轮的齿数最少，自行车的行进速度最大；当链轮的齿数最少，飞轮的齿数最多，自行车的行驶速度最小．
（2）根据位移时间公式分别求出a和b的位移大小，两物体在空中相碰，知两物体的位移之和等于H，再结合相遇的时间小于乙落地的时间，求出乙的初速度v应满足的条件．
（3）以小球为研究对象，小球经过C点时速度不同，管壁对球的作用力大小和方向不同，分析讨论：当管壁对球无作用力时，在C点由重力提供小球的向心力，由牛顿第二定律求出在C点的速度，由机械能守恒定律求出初速v．当初速度大于和小于临界速度时，由向心力知识分析管壁对球的作用力大小和方向．
【解析】
（1）人脚踩踏板的转速为每秒钟1.5转，角速度ω=1.5rad/s，链轮和飞轮齿数分别为48和24，则飞轮的角速度为2ω=3rad/s，自行车的前后轮周长为2m根据v=ωr=2×3m/s=6m/s；速度最快时，飞轮的齿数最多，链轮的齿数最少即链轮和飞轮齿数分别为28和28，此时v=，速度最慢时，飞轮的齿数最少，链轮的齿数最多即链轮和飞轮齿数分别为48和15，此时v=，所以自行车行驶的最大和最小速度之比为：
（2）设经过时间t甲乙在空中相碰，甲做自由落体运动的位移
①
乙做竖直上抛运动的位移    ②
由几何关系  h=h1+h2                          ③
联立①②③解得   t=④
设乙抛出后经过时间tmax落地，根据速度-时间关系有 tmax=⑤
甲乙在空中相遇应满足  0＜t＜tmax     ⑥
联立④⑤⑥解得  v≥
（3）当球恰好能从C端出来时，速度vC=0．
根据机械能守恒定律得：mg•2R=
解得：
当管壁对球无作用力时，即N=0时，由mg=，vC=
根据机械能守恒定律得mg•2R+=
解得：
当管壁对球的作用力方向向上时，球对管壁的压力方向向下，此时
所以要使小球从C端出来的瞬间，对管的内壁有压力，
故答案为：（1）6m/s；16：5；（2）v≥；（3）