Question

如图所示，光滑水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，弹簧处于自然状态时其右端位于桌面右边缘D点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R．用质量m=1.0kg的物块将弹簧压缩到B点后由静止释放，弹簧恢复原长时物块恰从桌面右边缘D点飞离桌面后，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道．g=10m/s²，求：
（1）物块离开D点时的速度v_D；
（2）DP间的水平距离；
（3）弹簧在B点时具有的弹性势能；
（4）分析判断物块能否沿圆轨道到达M点．

Answer

（1）物块离开D点做平抛运动，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道，知道了到达P点的速度方向，将P点的速度分解为水平方向和竖直方向，根据竖直方向上做自由落体运动求出竖直分速度，再根据角度关系求出水平分速度，即离开D点时的速度vD．
（2）根据竖直方向的运动求出运行时间，分运动与合运动具有等时性，再根据水平方向上做匀速直线运动求出DP间的水平距离．
（3）物块从B点到D点，弹簧的弹性势能全部转化为物块的动能，根据能量守恒定律求出弹簧在B点时具有的弹性势能．
（4）物块在内轨道做圆周运动，在最高点有临界速度，有，根据机械能守恒定律，求出M点的速度，与临界速度进行比较，判断其能否沿圆轨道到达M点．
【解析】
（1）由P点沿圆轨道切线落入圆轨道，知速度与水平方向的夹角为45°．
物块在P点竖直方向上的分速度为vyp，有，代入数据vyp=4m/s．
，所以vD=vx=4m/s．
故物块离开D点的速度为4m/s．
  （2）平抛运动的时间t=
所以DP间的水平距离x=vDt=4×0.4m=1.6m．
（3）根据能量守恒得，．
故弹簧在B点具有的弹性势能为8J．
（4）设物块到达M点的临界速度为vm，有．
所以．
到达P点的速度
根据机械能守恒定律，规定N点为0势能面，有
代入数据得，vm′=．
所以物块不能到达圆轨道的M点．