Question

如图，粗糙的水平面AB上的空间中存在场强分别为E₁的匀强电场及匀强磁场B，一带正电小球质量为m，所带电荷量为q，刚开始静止在A点，在电场力的作用下开始向右运动，到达B点时进入一埋入地下的半径为R的半圆形软管，且在转角B处无机械能损失，若小球到达B点时恰好对水平面的作用力为mg，试求：
（1）小球到达B点时的速度大小是多少？
（2）若A、B间距离为S，则小球从A运动到B克服摩擦力做多少功？
（3）在软管的最低点E，软管对小球的作用力是多大？
（4）在CD平面上距离C点L处有一长为2L的沙坑，要使小球落在CD平面上的沙坑外，试求CD上空的匀强电场E₂的取值范围．

Answer

（1）根据题意可知，洛伦兹力、支持力与重力处于平衡，因此由洛伦兹力公式可求出速度大小；
（2）小球从A到B过程，由动能定理可求出小球从A运动到B克服摩擦力做的功；
（3）由小球机械能守恒定律与牛顿第二定律及向心力表达式，可求出软管对小球的作用力；
（4）小球从C点冲出后，将运动沿水平方向和竖直方向进行分解，根据分运动的时间相等，由运动学规律可求出匀强电场E2的取值范围．
解（1）由于小球到B点时受洛伦兹力、支持力和重力处于平衡，所以
qVBB+N=mg    
又因为    
解之得：VB=  
（2）小球从A到B运动过程中，只有摩擦力、电场力做功，由动能定理可得
E1qS-Wf=   
∴Wf=E1qS-      
（3）由机械能守恒定律并取E点为零势能点，设软管对小球的作用力为F，可得
+mgR=+0   
由牛顿第二定律：F-mg=
解得：F=+3mg
（4）小球从C点冲出后，在竖直方向上作初速度大小为Vy=的竖直上抛运动，水平方向上做匀加速直线运动，
所以，设在空中飞行的时间为t，
则由t=可得
t=                     
水平方向上，a=，
小球落到沙坑以外，则＜L或＞3L      
可得E2的取值范围为：E2＜或 E2＞
答：（1）小球到达B点时的速度大小是；
（2）若A、B间距离为S，则小球从A运动到B克服摩擦力做功；
（3）在软管的最低点E，软管对小球的作用力是+3mg；
（4）在CD平面上距离C点L处有一长为2L的沙坑，要使小球落在CD平面上的沙坑外，试求CD上空的匀强电场E2的取值范围为：E2＜或 E2＞．