Question

用图所示的水平传送带AB和斜面BC将货物运送到斜面的顶端．传送带AB的长度L=11m，上表面保持匀速向右运行，运行的速度v=12m/s．传送带B端靠近倾角θ=37°的斜面底端，斜面底端与传送带的B端之间有一段长度可以不计的小圆弧．在A、C处各有一个机器人，A处机器人每隔△t=1.0s将一个质量m=10kg的货物箱（可视为质点）轻放在传送带A端，货物箱经传送带和斜面后到达斜面顶端的C点时速度恰好为零，C点处机器人立刻将货物箱搬走．已知斜面BC的长度s=5.0m，传送带与货物箱之间的动摩擦因数μ=0.55，货物箱由传送带的右端到斜面底端的过程中速度大小损失原来的，g=10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）斜面与货物箱之间的动摩擦因数μ；
（2）从第一个货物箱放上传送带A端开始计时，在t=3.0s的时间内，所有货物箱与传送带的摩擦产生的热量Q；
（3）如果C点处的机器人操作失误，未能将第一个到达C点的货物箱搬走而造成与第二个货物箱在斜面上相撞．求两个货物箱在斜面上相撞的位置到C点的距离．（本问结果可以用根式表示）

Answer

（1）货物箱在传送带上做匀加速运动过程，根据牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求出货物箱运动到传送带右端时的速度，进而求出货物箱刚冲上斜面时的速度，货物箱在斜面上向上运动过程中根据运动学公式求出加速度，对货物箱进行受力分析，根据牛顿第二定律即可求得μ；
（2）3.0s内放上传送带的货物箱有3个，分别求出三个货物箱相对于传送带的位移，根据与传送带的摩擦产生的热量Q等于克服摩擦力所做的功，即可求解；
（3）先计算第一个货物箱到达C点时，第二个货物箱的位置，此时第一个货物箱向下加速运动，第二个货物箱向上减速运动，分别求出它们的加速度，再根据运动学公式即可求解．
【解析】
（1）货物箱在传送带上做匀加速运动过程，根据牛顿第二定律有
        μmg=ma
解得：a=μg=5.5m/s2                                      
由运动学公式：v12=2aL
解得货物箱运动到传送带右端时的速度大小为：v1=11m/s
货物箱刚冲上斜面时的速度 v2=（1-）v1=10m/s
货物箱在斜面上向上运动过程中v22=2a1s
解得：a1=10m/s2                                   
根据牛顿第二定律：mgsinθ+μmgcosθ=ma1
解得：μ=0.5；                                       
（2）3.0s内放上传送带的货物箱有3个，前2个已经通过传送带，它们在传送带上的加速时间t1=t2=2.0s；第3个还在传送带上运动，其加速时间 t3=1.0s．
前2个货物箱与传送带之间的相对位移
△s=vt1-v1t1=13m
第3个货物箱与传送带之间的相对位移
△s′=vt3-v1t3=9.25m                          
前2个货物箱与传送带摩擦产生的总热量为：
Q1=2μ mg△s=1430J
第三个货物箱与传送带摩擦产生的热量为：
Q2=μ mg△s′=508.75J．                         
总共生热  Q=Q1+Q2=1938.75J．                           
（3）货物箱由A运动到B的时间为2.0s，由B运动到C的时间为1.0s，可见第一个货物箱冲上斜面C端时第二个货物箱刚好冲上斜面．
货物箱沿斜面向下运动，根据牛顿第二定律有
mgsinθ-μmgcosθ=ma2
解得加速度大小a2=2.0m/s2                                 
设第一个货物箱在斜面C端沿斜面向下运动与第二个货物箱相撞的过程所用时间为t，
有：v2t-a1t 2+a2t 2=s
解得：s≈0.69 s                               
两个货物箱在斜面上相遇的位置到C端的距离
s1=a2t2=m≈0.48 m  
答：（1）斜面与货物箱之间的动摩擦因数μ为0.5；
（2）从第一个货物箱放上传送带A端开始计时，在t=3.0s的时间内，所有货物箱与传送带的摩擦产生的热量Q为1938.75J；
（3）两个货物箱在斜面上相撞的位置到C点的距离为0.48 m．