Question

如图所示，A、B是两块竖直放置的平行金属板，相距为2L，分别带有等量的负、正电荷，在两板间形成电场强度大小为E的匀强电场．A板上有一小孔（它的存在对两板间匀强电场分布的影响可忽略不计），孔的下沿右侧有一条与板垂直的水平光滑绝缘轨道，一个质量为m，电荷量为g（g＞0）的小球（可视为质点），在外力作用下静止在轨道的中点P处．孔的下沿左侧也有一与板垂直的水平光滑绝缘轨道，轨道上距A板L处有一固定档板，长为L的轻弹簧左端固定在挡板上，右端固定一块轻小的绝缘材料制成的薄板Q．撤去外力释放带电小粒，它将在电场力作用下由静止开始向左运动，穿过小孔后（不与金属板A接触）与薄板Q一起压缩弹簧，由于薄板Q及弹簧的质量都可以忽略不计，可认为小球与Q接触过程中不损失机械能．小球从接触Q开始，经历时间To第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回．由于薄板Q的绝缘性能有所欠缺，使得小球每次离开Q瞬间，小球的电荷量都损失一部分，而变成刚与Q接触时小球电荷量的（k＞1）求：
（l）小球第一次接触Q时的速度大小；
（2）假设小球第n次弹回两板间后向右运动的最远处没有到达B板，试导出小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间Tn的表达式；
（3）若k=2，且小孔右侧的轨道粗糙与带电小球间的滑动摩擦力为f=，试求带电小球最终停止的位置距P点的距离．

Answer

（1）小球在电场力作用下由静止开始向左运动，根据牛顿第二定律求出加速度，再根据运动学公式求解第一次接触Q时的速度大小．
（2）小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间包括两部分，一部分是小球从接触Q开始，经历时间To第一次把弹簧压缩至最短，然后又被弹簧弹回，另一部分是离开Q向右做减速运动的过程．根据运动学公式进行求解．
（3）根据动能定理求得小球第1次弹回两板间后向右运动最远距A板的距离，再求出第二次，即可求解．
【解析】
（1）设小球第一次接触Q的速度为v，接触Q前的加速度为a．
根据牛顿第二定律有 qE=ma                                   
对于小球从静止到与Q接触前的过程，根据运动学公式有v2=2al    
联立解得v=              
（2）小球每次离开Q的速度大小相同，等于小球第一次与Q接触时速度大小
v=                        
设小球第n次离开Q向右做减速运动的加速度为an，速度由v减为零
所需时间为tn，小球离开Q所带电荷量为qn，则
qnE=man   
tn=                                      
qn=                               
联立解得tn=                             
小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间
Tn=2T+kn，
（3）假设小球第1次弹回两板间后向右运动最远距A板距离为L1，则
（qE-f）L-（+f）L1=0       
即L1=L              
假设小球第2次弹回两板间后向右运动最远距A板距离为L2，则
（qE-f）L-2fL1-（+f）L2=0
即L2=L          
又因此时电场力F===f，即带电小球可保持静止
带电小球最终停止的位置距P点的距离L3为
L3=L-= 
答：（l）小球第一次接触Q时的速度大小是；
（2）小球从第n次接触Q，到本次向右运动至最远处的时间Tn的表达式是Tn=2T+kn；
（3）带电小球最终停止的位置距P点的距离是．