Question

如图所示为一游乐场设施的简化示意图．长为l，高为h=0.8m平板小车靠在光滑的半径为R的1/4圆弧轨道的右侧，小车上表面恰好与轨道最低端相挨，现让一质量为m₁的小滑块，从圆弧轨道顶端下滑后冲上小车上表面，继续向前运动，发现当小滑块滑离小车着地时，小车也恰好静止．已知小滑块到轨道最低端时对轨道的压力N=30N，平板小车上表面与小滑块的动摩擦因数μ₁=0.2，小车与地面的动摩擦因数μ₂=0.1，小滑块质量与小车质量关系为m₁=1.2m₂，小滑块着地时距平板小车右端△s=0.32m，g取10m/s²．求：
（1）小滑块的质量m₁；
（2）圆弧轨道的半径R和平板小车的长度l．

Answer

（1）在最低点，重力和支持力的合力提供向心力，物块在圆弧轨道上运动，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律和牛顿第二定律，求出小滑块的质量m1．
（2）根据牛顿第二定律分别求出物块和小车的加速度，抓住物块滑离小车时位移之差等于小车的长度，以及物块离开小车做平抛运动，知道和小车右端的位移，根据匀变速直线运动公式求出平板车的速度．以及根据求出滑块滑上小车的速度，根据机械能守恒定律求出圆弧轨道的半径．
【解析】
（1）小滑块沿圆弧轨道下滑，由机械能守恒定律有：①
在轨道最低点，由向心力公式有：②
由①②两式得：N=3m1g，
将N=30N代入解得m1=1kg．
（2）小滑块在小车上运动时情况：
对m1有：μ1m1g=m1a1   ③
对m2有：μ1m1g-μ2（m1+m2）g=m2a2   ④
由第（1）问结果代入题中数据解得：a1=2m/s2，a2=0.2m/s2，
由运动学公式得：
小滑块的位移：⑤
小车的位移：⑥
考虑时间相等有：⑦
s1-s2=l          ⑧
小滑块与小车分离后：
小滑块平抛：，s1'=v1't2⑨
小车做匀减速运动：a2'=μ2g=1m/s2 由于末速为零有：v2'=a2't2⑩（11）
由题知：△s=s1'-s2'（12）
将数据代入⑨⑩（11）（12）式解得：v1'=1m/s，v2'=0.4m/s
将求得的v1'，v2'代入①⑤⑥⑦⑧解得：R=1.25m，l=5.6m