Question

如图，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁A点上有一质量为m的小物块．
①当筒不转动时，求物块静止在筒壁A点时受到的摩擦力和支持力的大小？
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，求筒转动的角速度大小？
③若H=0.075m，R=0.1m，物体随筒一起匀速转动并保持相对静止时，物体受到的摩擦力大小为其重力的一半，求筒转动的角速度大小？

Answer

（1）当筒不转动时，物块受到重力、筒壁A的摩擦力和支持力作用，根据平衡条件求解．角度由数学知识求出．
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，由重力和支持力的合力提供物块的向心力，由牛顿第二定律求解．
（3）静摩擦力方向可能向上也可能向下，根据向心力公式列式即可求解．
【解析】
（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，
   由平衡条件得
     摩擦力的大小：f=mgsinθ=
支持力的大小：N=mgcosθ=
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω有
   mgtanθ=mω2
由几何关系得  tanθ=
联立解得ω=
（3）若摩擦力方向沿斜面向上，则有：
竖直方向：Ncosθ+fsinθ=mg
水平方向：Nsinθ-fcosθ=mω2r
其中f=，r=
解得：ω=5 rad/s
若摩擦力方向沿斜面向下，则有：
竖直方向：Ncosθ-fsinθ=mg
水平方向：Nsinθ+fcosθ=mω2r
其中f=，r=
解得：ω=5 rad/s
答：①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的摩擦力大小为，支持力的大小为；
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度大小为；
③若H=0.075m，R=0.1m，物体随筒一起匀速转动并保持相对静止时，物体受到的摩擦力大小为其重力的一半，筒转动的角速度大小为5 rad/s或5 rad/s．