Question

如图所示，半径R=1.0m的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=37°，另一端点C为轨道的最低点．C点右侧的水平路面上紧挨C点放置一木板，木板质量M=l kg，上表面与C点等高．质量m=l kg的物块（可视为质点）从空中A点以v=1.2m/s的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道．已知物块与木板间的动摩擦因数μ₁=0.2，木板与路面间的动摩擦，因数μ₂=0.05．sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．试求：
（1）物块经过轨道上的C点时对轨道的压力；
（2）设木板受到的最大静摩擦力跟滑动摩擦力相等，则木板至少多长才能使物块不从木板上滑下？

Answer

（1）物块从A到B做平抛运动，由平抛规律可求得B点的速度；由机械能守恒可求得C点的速度；由向心力公式可求得物块在C点受到的支持力，由牛顿第三定律可求得对轨道的压力；
（2）由牛顿第二定律可求得物块和木板的加速度，要使物块不掉下去，两物体最后应达到相同速度并且刚好到达最右端，由运动学公式可求得木板的长度．
【解析】
（1）设物体经过B点的速度为vB，则由运动的合成与分解规律可得：
vBsin37°=v
设物体经过C点的速度为vC，由机械能守恒得：
mvB2+mg（R+Rsin37°）=mvC2
物体经过C点时，设轨道对物块的支持力为FC，根据牛顿第二定律得：
Fc-mg=m
联立解得：Fc=46N；
由牛顿第三定律可知，物块经过圆轨道上的C点时对轨道的压力为46N；
（2）物体在木板上滑动时，设物块和木板的加速度大小分别为a1、a2，则：
μ1mg=ma1
μ1mg-μ2（M+m）g=ma2
设物块和木板经过时间t达到共同速度v，其位移分别s1、s2，则：
对物块有：vC-at=v
v2-vc2=-2a1s1
对木板有：a2t=v
v2=2a2s2
设木板长度至少为L，由题意得：L≥s1-s2
联立解得：L≥6m
即木板长度至少6m才能使物块不从木板上滑下．
答：（1）物块经过轨道上的C点时对轨道的压力为46N；（2）木板的长度至少为6m，物块才不会滑下．