Question

如图，某货场需将质量为m₁=100kg的货物（可视为质点）从高处运送至地面，为避免货物与地面发生撞击，现利用固定于地面的光滑四分之一圆轨道，使货物由轨道顶端无初速滑下，轨道半径R=1.8m．地面上紧靠轨道依次排放两个完全相同的木板A、B，长度均为l=2.0m，质量均为m₂=100kg，木板上表面与轨道末端相切．货物与木板间的动摩擦因数为μ₁，木板与地面间的动摩擦因数μ=0.20．（最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
求：（1）若货物滑上木板A时，木板不动；而滑上木板B时，木板B开始滑动，求μ₁应满足的条件．
（2）若μ₁=0.5，求货物滑到木板A末端时的速度和在木板B上运动的时间．

Answer

（1）若货物滑上木板A时，木板A不动，则木板所受的货物的滑动摩擦力不大于地面对木板A的最大静摩擦力；滑上木板B时，木板B开始滑动，说明货物对B的滑动摩擦力大于地面对B的最大静摩擦力，列出不等式，求出μ1应满足的条件．
（2）根据机械能守恒定律求出货物刚滑上A时的速度大小．根据牛顿第二定律和运动学公式结合求出货物滑到木板A末端时的速度．假设货物与B有共同的速度，由速度公式求出货物在B上滑行的时间，根据两者的相对位移判断假设是否成立，再确定货物在B运动的时间．
【解析】
（1）若货物滑上木板A时，木板不动，μ1m1g≤μ（m1+2m2）g    
若滑上木板B时，木板B开始滑动，由受力分析得μ1m1g＞μ（m1+m2）g    
联立代入数据解得 0.4＜μ1≤0.6              
（2）设货物滑到圆轨道末端是的速度为V，对货物的下滑过程中根据机械能守恒定律得，
m1gR=m1v2
解得，v=6m/s
若μ1=0.5，由上式可知，货物在木板A上滑动时，木板不动．设货物在木板A上做减速运动时的加速度大小为a1，由牛顿第二定律得
   μ1m1g=m1a1，
设货物滑到木板A末端时的速度为v1，由运动学公式得=-2a1l，联立代入数据解得   v1=4m/s
设在木板A上运动的时间为t1，由运动学公式得
   v1=v-a1t1，
解得t1=0.4s．
货物在B上向右做匀减速运动，由牛顿第二定律得
对物体：μ1m1g=m1a1，得a1=μ1g=5m/s2
对B：μ1m1g-μ（m1+m2）g=m2a2，得a2=1m/s2．
假设两者能有共同的速度，即有
v1-a1t=a2t
解得，货物在木板B上运动的时间   t=0.67s
共同速度为v=a2t=0.67m/s
此过程中，货物的位移大小为x1=，B的位移大小为x2=
则货物相对于B的位移大小为△x=x1-x2==1.3m＜l=2m，说明两者速度相同时，货物仍在B上．
所以货物在木板B上运动的时间为0.67s．
答：（1）若货物滑上木板A时，木板不动；而滑上木板B时，木板B开始滑动，μ1应满足的条件是0.4＜μ1≤0.6．
（2）若μ1=0.5，货物滑到木板A末端时的速度是4m/s，和在木板B上运动的时间是0.67s．