Question

在光滑绝缘的水平面上，存在平行于水平面向右的匀强电场，电场强度为E．水平面上放置两个静止的小球彳和B（均可看作质点），两小球质量均为m，A球带电荷量为+q，B球不带电，A、B连线与电场线平行．开始时两球相距L，在电场力作用下，A球开始运动（此时为计时零点，即t=0），后与B球发生对心碰撞，碰撞过程中A、B两球总动能无损失．设在各次碰撞过程中，A、B两球间无电量转移，且不考虑两球碰撞时间及两球间的万有引力．求：
（1）第一次碰撞结束瞬间A、B两球的速度各为多大？
（2）从计时零点到即将发生第三次碰撞这段过程中，共经过多长时间？
（3）从计时零点到即将发生第n次碰撞这段过程中，小球A经过的位移大小为多少？

Answer

（1）根据牛顿第二定律求出A球的加速度，由速度位移公式求出A球与B球碰撞前的速度．由于碰撞过程中A、B两球总动能无损失，交换速度．
（2）根据速度公式求出第一次碰撞时间．第一次碰后，A球追及B球，当位移相等时，发生第二碰撞，由位移相等求出第二次碰撞时间．同理求解第三次碰撞时间．
（3）采用归纳法分别分析从计时零点到即将发生第1次碰撞这段过程、第1次碰撞到即将发生第2次碰撞这段过程、从第2次碰撞到即将发生第3次碰撞这段过程…A球经过的位移，得出规律，再求总位移．
【解析】
（1）A球的加速度为a=
碰前A的速度为vA1==，碰前B的速度为vB1=0由于碰撞过程中A、B两球总动能无损失，交换速度，则碰撞后A、B的速度分别
   vA1′=0，vB1′=vA1=．
（2）A、B球发生第一次、第二次、第三次的碰撞时间分别为t1、t2、t3．
则t1==
第一次碰后，经t2-t1时间A、B两球发生第二次碰撞，设碰前瞬间A、B两球速度为vA2和vB2，则有
   vB1′（t2-t1）=
解得，t2=3t1
   vA2=a（t2-t1）=2at1=2vA1=2
  vB2=vB1′=
第二次碰后瞬间，A、B两球速度分别为
vA2′和vB2′，经t3-t2时间A、B两球发生碰撞，并设碰撞前瞬间A、B两球速度分别vA3和vB3
则vA2′=vB2=
vB2′=vA2=2
当vB2′（t3-t2）=vA2′（t3-t2）+a发生第三次碰撞
解得，t3-t2=t2-t1，t3=5
（3）从计时零点到即将发生第1次碰撞这段过程中，小球A经过的位移为S1=L，由（2）分析知，每次碰撞后A、B小球交换速度，通过运算可知，
从第1次碰撞到即将发生第2次碰撞这段过程中，A球经过的位移为S2=4L，
从第2次碰撞到即将发生第3次碰撞这段过程中，A球经过的位移为S3=8L，
…
从第（n-1）次碰撞到即将发生第n次碰撞这段过程中，A球经过的位移为Sn=（n-1）4L，
所以，从计时零点到即将发生第n次碰撞这段过程中，小球A经过的位移大小为
S=S1+S2+S3+…+Sn=L+4L+8L…+（n-1）4L=【1+2n（n-1）】L
答：
（1）第一次碰撞结束瞬间A、B两球的速度分别为0和．
（2）从计时零点到即将发生第三次碰撞这段过程中，共经过5时间．
（3）从计时零点到即将发生第n次碰撞这段过程中，小球A经过的位移大小为【1+2n（n-1）】L．