Question

如图所示，在光滑绝缘水平面上平放着一内壁光滑、绝缘的空心细管，管内M端有一带正电的小球P，在距离管的N端正右方2h的A₁处有另一不带电的小球Q，在足够大空间区域有竖直向下的匀强磁场，磁感强度为B．现让细管以垂直管长方向的速度v₁水平向右匀速运动，同时让Q以某速度v₂从A₁点出发沿A₁A₂匀速运动，细管运动到A₁处时，A₁A₂与细管延长线的夹角为45°．若小球P恰好在A处相对水平面以速度离开管的N端，一段时间后与Q相碰，试求：
（1）P的带电量与质量之比的大小；
（2）v₂的大小．

Answer

（1）小球P受到指向N端的洛伦兹力和向左的洛伦兹力，小球既随管子向右匀速运动，又在洛伦兹力作用力下，沿管子向N端做匀加速运动，由牛顿第二定律和运动学公式可得到小球P到达N端时沿管方向的速度大小，与v1的合速度等于，联立即可求出比荷．
（2）小球P离开管后将在水平面上作匀速圆周运动，速度为，由洛伦兹力提供向心力，可由牛顿第二定律求出半径和周期，一段时间后P与Q相碰，分析时间与周期的关系，得到时间的通项，再求出v2的大小．
【解析】
（1）设小球P的电量为q、质量为m，P因参与v1运动而受到指向N端的洛伦兹力，其值为：
f=qv1B
P在管中的运动会使它受到另一个向左的洛伦兹力，此力被管壁施予P向右的力所抵消．P对应有指向N端的加速度：
a=… ①
设P从M端到达N端t1，沿管子方向的速度大小为u．
则：t1=…②
    u=at1…③
则=…④
由③可得：u=v1…⑤
由①②③⑤可得：…⑥
（2）P离开管后将在水平面上作匀速圆周运动其速度为：v=
由qvB=m得：
r==…⑦
周期T=…⑧
T=4
P恰好在A1位置离开管的N端，离开管后最终只可能与Q在图中S处相碰，Q从开始运动到P相碰撞经历的时间为：
t=t1+（n+）T（n=0、1、2、3…）…⑨
在这段时间内Q小球恰好走过2r的路程，则：
 v2t=2r=4…⑩
解得：v2=4=…（11）
答：（1）P的带电量与质量之比的大小为；
（2）v2的大小为4．