Question

一倾角θ=30°的足够长的绝缘斜面，P点上方光滑，P点下方粗糙，处在一个交变的电磁场中，如图甲所示，电磁场的变化规律如图乙和丙所示，磁场方向以垂直纸面向外为正，而电场的方向以竖直向下为正，其中，，现有一带负电的小物块（可视为质点，其质量为m、带电量为q）从t=0时刻由静止开始从A点沿斜面下滑，在t=3t时刻刚好到达斜面上的P点，并且从t=5t时刻开始物块在以后的运动中速度大小保持不变．若已知斜面粗糙部分与物块间的动摩擦因素为，还测得在0～6t时间内物块在斜面上发生的总位移为，求：
（1）小球在t时刻的速度；
（2）在整个运动过程中物块离开斜面的最大距离；
（3）物块在t=3t时刻到t=5t这段时间内因为摩擦而损失的机械能．（计算中取π²=10）

Answer

（1）0～t内，物块受到的电场力竖直向下，物块做匀加速运动，由牛顿第二定律和运动学公式结合可求出t时刻的速度；
（2）分析物块的运动情况，画出其运动轨迹：0～t内，物块做匀加速运动；t～2t内，电场力竖直向上，与重力平衡，物块在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其T==t；2t～3t内，电场力竖直向下，物块做匀加速运动；3t～4t内，电场力竖直向上，与重力平衡，物块在洛伦兹力作用下做半径更大的匀速圆周运动，以此类推，在5t～6t时间内物块脱离斜面做匀速圆周运动，离开斜面的最大距离等于圆周的直径．由题，t=5t时刻物块速度大小保持不变，由平衡条件求出此时的速度，即可由洛伦兹力提供向心力求出物块离开斜面的最大距离；
（3）由运动学分别求出0～t、2t～3t、4t～5t内的位移和P点速度，由动能定理求出物块在t=3t时刻到t=5t这段时间内因为摩擦而损失的机械能．
【解析】
（1）0～t内小物块匀加速下滑：
    F合=（mg+Eq）sinθ=ma
得a=g
故v=at=gt
（2）运动轨迹如图，物体在5t之后匀速，速度达到最大，有：
  FN=Bqvm+（mg+Eq）cosθ
（mg+Eq）sinθ=μFN
由以上两式得到：vm=
在5t～6t时间内物块脱离斜面做匀速圆周运动：Bqvm=m
得到
物块离开斜面的最大距离为△l=2r=
（3）0～t内：
    2t～3t内：
    4t～5t内：
P点速度为v=a•2t=2gt
根据动能定理得到：
得到摩擦损失的机械能为：
答：
（1）小球在t时刻的速度为gt；
（2）在整个运动过程中物块离开斜面的最大距离为；
（3）物块在t=3t时刻到t=5t这段时间内因为摩擦而损失的机械能为1.6m．