Question

如图所示，相互平行的竖直分界面MN、PQ，相距L，将空间分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区．Ⅰ、Ⅲ区有水平方向的匀强磁场，Ⅰ区的磁感应强度未知，Ⅲ区的磁感应强度为B；Ⅱ区有竖直方向的匀强电场（图中未画出）．一个质量为m、电荷量为e的电子，自MN上的O点以初速度v水平射入Ⅱ区，此时Ⅱ区的电场方向竖直向下，以后每当电子刚从Ⅲ区进入Ⅱ区或从Ⅰ区进入Ⅱ区时，电场突然反向，场强大小不变，这个电子总是经过O点且水平进入Ⅱ区．（不计电子重力）
（1）画出电子运动的轨迹图；
（2）求电子经过界面PQ上两点间的距离；
（3）若Ⅱ区的电场强度大小恒为E，求Ⅰ区的磁感应强度．

Answer

（1）电子进入区域Ⅱ后首先做类平抛运动，运动轨迹是一段抛物线；电子进入区域Ⅲ后在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，轨迹是一段圆弧；再次进入区域Ⅱ后，电子做斜上抛运动，运动轨迹是一段抛物线（和刚进入区域Ⅱ的抛物线是对称的）；电子垂直进入区域Ⅰ后，电子做匀速圆周运动，轨迹是一个半圆．
（2）电子在区域Ⅲ中做匀速圆周运动，首先求出运动半径，再由几何关系可求出两点间的距离．
（3）结合第一问和第二问求出电子经过边界MN上的两点间的距离，此为电子在区域Ⅰ中做圆周运动的直径，由洛伦兹力提供向心力公式可求出区域Ⅰ的磁场强度．
【解析】

（1）电子运动的轨迹如图所示．
（2）电子在Ⅱ区Oa段做类平抛运动，
在a点的速度v1与PQ成θ角，v1sinθ=v…①
电子在Ⅲ区ab段做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有：
…②
由几何知识有：
…③
①②③联立解得：
…④
（3）电子在Ⅱ区Oa段运动的竖直位移：
…⑤
电子在bc段做类斜上抛运动，加速度与Oa段等值反向，由运动的对称性得
电子运动的竖直位移：
…⑥
同样有对称可得电子在c处的速度为：
vc=v，方向水平向左…⑦
所以，电子在Ⅰ区CO段做匀速圆周运动的半径为：
…⑧
由牛顿运动定律有：
…⑨
解得：
（或）
答：（1）电子运动的轨迹图如图所示．
（2）电子经过界面PQ上两点间的距离为．
（3）若Ⅱ区的电场强度大小恒为E，Ⅰ区的磁感应强度为．